目录 前言 第一章 Ealer方程及 Navier- Stokes方程的涡度法…1 §L.二维 Euler方程的涡度法 §2.三维 Euler方程的涡度法 §3.随机游动涡团法… §+,变椭圆涡方法………………………………………18 §5.确定型算法… 21 §6.快速祸团算法 第二章不可压缩流的数学理论…… §1.Sobo!ev空间的一些性质… 52.椭圆型偏微分方程解的一些估计… §3.三维Eu!er方程的初值间题…… §4.三维Eu!er方程的初边值问题 §5.二维 Euler方程… §6.线性算子半群 箱+q,、甲.p,sd,,、d中丶,甲5, §7, Stokes算子及其生成的半群 §8.不定常 Navier- Stokes方程……75 第三章 Euler方程涡度法的收敛性… 1.涡团法解的存在唯一性………………………7 §2.函数的逼近 D甲,q、非中 1甲,q甲 §3.积分算子的一些性质…… §4.二维涡团法的相容性… ……………………95 §5,二维涡团法的稳定性…………………… …102 §6.二维润团法的收敛性 ∴……………113 §7.三很团法的收敛性——格式A………………115 s8.三维涡团法的收敛性—一格式B…………………………………129 §9.点祸法的收斂性……………………
§10.二维初边值问题涡团法一半离散化 146 511.二维初边值问题的涡图法—一关于空间变量进一步离散化…15? §12.二维初边值问题的涡团法—全离散化… 166 第四章粘性分离的收敛性…… 176 §1.初值问题的佔计 …………………176 §2.初值间题的收敛性 82 §3.一个简化公式—一线性倩形…… 186 §4.一个简化公式——非线性情形……………… …192 §5.一个相容格式—非齐次方程 202 §6.一个相容格式—非齐次达界条件…… 214 S7.必要条件………………………… 225 §8.外间题 …230 §9.多连通区域 240 §10.紧性讨论… 247 s11.支集在边界上的生成涡旋…………… …256 第五章随机涡团法的收效性…………………… 259 §1.概述………………… 259 §2.随机涡团法收敛性 260 §3.随机游动方法对 Burgers方程的收敛性基本框架 281 评注……………………………………………………290 多考文截… ………………296
第一章 Euler方程及 Navier-Stokes方程的 涡度法 §1.二维 Euler方程的涡度法 我们考查不可压缩、无粘性的流体。在二维情形,它满足如下 的 Euler方程 0+(·V)x+1yp=f, 11.1) 其中表示速度,它是一个向量,“一(4,-2),P是压力,“与P 是未知的两个基本力学量,P是密度,我们设流体是不可压缩而且 是均匀的,所以P是一个已知常数,f=(f1,f)表示单位质量流 体所受到的体积力。自变量为x-(x1,x2)与,分别表示空间 与时间变量,符号ⅴ是梯度算子,即v〓(Q,。),流体还应 满足如下的连续性方程 (1.12) 其中“·”为内积符号,因此“y·”就是散度我们有时为了方便起 见,把微商也记作a4与2按照内积规则,(1.1.1)中的““V” 就是41④1+M202,(111)(112)共包含了三个方程,联立求解三 个未知量x1,n2与P。 下面考查润度法。首先,为了叙述上的方便设外力有势,即 存在一个标量函数φ使f一,我们用旋度算子作用于方程 (1.1.1),在二维情形,旋度算子就是V∧〓(O1,-1),设涡度 G一一∧M,它是一个标量,即 a2#1+8
以一A作用于(1,1.1)后,yp与f两项自动消失,方程变 成了 O (1.1.3) 方程(1.1.3)中除了未知量外,还有“,它是不能独立求解的 我们还需引进另一个变量,即流函数。为了叙述方便,先假定在整 个空间R2考,在空间中任取一点x,作如下的曲线积分: (x)=(-“dx,+1x), (1.14) 其中xx为任一曲线路径。由方程(1.1.2),以上曲线积分与路径 无关,它定义了一个全空间上的函数,由(1.1.4)还可以得 =∧中。 (1.1.5) 以一A作用在(1.1.5)上,得 △φ= (116) 其中Δ是 Laplace算子,△ 6 02 axt 0x2 于是,如果认为是 已知的,φ就是一个 Poisson方程的解。(1.1.3),(1.1.5), (1.1.6)中共包含了四个方程,它们可联立求解个未知量,即 1,#2与中,自然,也可以利用(1.1.5)把(1.I.3)中的4消去,只 解与φ,这就是 Euler方程的涡度—流函数提法 如果把4看成巳知,(1.1.3)是一个一阶双曲型方程式,可以 用特征线方法求解。特征线由如下的常微分方程组定义: (1.1.7) 把(1.1.7)代人(1.1.3),我们得到一个主要结论:沿特征线 d 0 (118) 即沿特征线涡度是不变的。因此,我们只要作出特征线并知道初 始酎刻的涡度ω(x)〓o(x,0),问题魷解决了 点涡法正是根据这一思路并结合质点法的思態而设计的一种
方法。一般,在初始时刻ω。是一个连续函数,我们用若千个点涡 来逼近它,设 a(2)*∑o;“8(x-X;) 这里X;是第j个点的位置,8·)是δ函数,J是指标的集 合J一{}a;是点涡的强度,这就好比把连续分布的质量集中 在几个质点上。设方程(1.1.7以及初始条件 X 的解为X(),则由(1.1.8),涡度可以写成 (x,1)=∑G;0(x-x;(t), (1.19) 代入(1.1.6),得 Δφ∑a6(x-X(t) (1I10) i∈ 我们知道,方程 △=8( 的解称为基本解,它等2logx-xl,从而方程(1.1.10) 的解就是 a;log|xX)l。 2 由(1.1.5)得 (x2-X1(),-x1+x;() u=-2r2ax-XOor (1.1.11) 其中(x;(),X:()=X4),1x2=√x+x 把(1.1.11)代入(1.17)就应该得到X)满足的常微分方 程组。但是我们要注意到,按照(1.1.11),k(K(t),)是没有意 文的,当x→X(时,的极限为无穷,于是,对于固定的i∈J 我们把(11.11)中对应于=i的那一项去掉,经过这样处理后, x,()满足的方程是