因此 J(y→x)〓J以→dx)-|G-i+=|T|+ I|T,|+-I 6 O 由定理161,我们能计算下列有用的雅可比行列式 例161若Y一AXB,其中YmⅩp,X:nXP,A:n×舞 和B:P×p,则J(Y→X)=|4{名B| 证首先,若yAx,其中y和x是向量,则由定理16的 (3),我们能够证明y→x)=A+,利用(1.4.4)我们有 vec(Y)〓(B'⑧A)vec(X),J(Y→X=J(ve(Y) vec(X))一B'8川+〓!AHB| 刎162设Y=B'XB,其中B|≠0且X,Y和B都是 n×n阵。我们有 (1)若x-X,则JY→x)=|B+一|B'B+, (2)若X--X,则J(Y→X)|B{:1=1B'B 证为证明1设B是上三角阵。则我们能把变换表为 「Y1y BMx x B 0 由上式可得到 Yn〓BXn1Bny y Buxub burbs> ymn=bantom 2bnnxb+ bXnb. 由定义16,1的(4) JY→X〓J(Y1n→Xn)J(y→x)J(yn→x) J(Y1→X)}B1|+|b+b2。 J(Y→Xu)Bu}+|bm升1, 因为八(y→x)|B山+b+且J(y→xnn)-b因此由 归纳法JY1→>K1)-|B1:且(Y→X)=Bi* 类似地,若B是下三角阵,则孔(Y→X)-|B|
当B是非异阵时,交换!行与列的位置并不改变变换的雅可 比行列式的值,因此,i阶前主子式非零。由(1214)我们有分解 式A〓TU,其中T∈LT(n)和U∈UT(n).因此 (TXT)U-UX 其中X*一TXT,由定理1.6,1的(2)我们有 J(Y→x)=JY→X*)(X*→X) U14T+=|B1# 类似地可证明(2). 例163设Y一AX,其中A,X和Y是n×n阵 (1)若X,Y和A都是下三角阵,则 (2)若X,Y和A都是上三角阵,则 八(Y→x〓Ⅱ 证我们只证明(1).因为;-∑a;x,1≤≤i≤ 因此 a(yu, y 22y312232.332 11, 221, t22, t31,532,r33, 1 是下三角阵且有au,a224223,a#,a3,……,。ap,…,ap为其对角 元素。故(1)得证。 164若YX+X,其中x是n×n下三角矩阵,则 JY→x)一2°。 证由于 则6y,y,…,ym…,yn)是下三角阵且有n个2和 8(x1,x21,x2,……,xn1,…,xn) 1n(m-1)个1为其对角元素,这就是说,(Y→x)-2.D
例1.6.5设Y一XA+Ax,其中A,X和Y是n×n阵 (1)若X和A是下三角阵,则 →X)=2a (2)若X和A是上三角阵,则 J(y→x)=2I|a; 证设ZmYA1一AX+X1一W+W,其中 W∞!X是下三角阵。因此,由定理161的(2),例16,2,例 1.6.4和例1.6,3我们有 JY→X)JY→z)J(Z→W)(W→X a:+2Ⅱ 类似地,我们能够证明(2)日 例1.6.6设Y一XX>0是Y的 Cholesky分解,其中X∈ LT(n)有正的对角元素(见127).那么我们有 J(Y→x)-2“I 证由于dY一(dX)X+X(dX),故由定理161和例 165,我们有 J(Y→X)=J(Y→dx)=2"Ⅱx+ 例157设S是n×n对称阵,使得其所有的特征值都相异 且非零,设S≌HD2H,其中D2 ma diag(x13l k2>…>礼n(λ;≠0),并且H∈O(n),其第一行的元素是正的 且其对角元素也全是正的.则我们有 (S→H,D)-f(H)ⅡⅡ(-2 其中 32
并且Hi1是H的第一个i维主子式。 证因为HH-!和(dHH+H(dH)一0,故我们有 R十RmO,其中RmH(aH).因此R是斜对称阵。设H的独 立变量是{h12,……,h1nh2,…,h2ny…·,h和“H一HR,令 r f。我们有 db2;-2h1∑h饿;i< 注意到变换是有条件的且由定理161(5),我们有 JH→R) J(4h1 Tii f 取S〓HDH的微分,我们有 D, H+H(dDi)H+HD, (dH) 和 Wa矿(dS)H-RD;-D,R+dD 比较两边的元素,我们得到d"dx;和dw=(λ;-;)r计 j。因此 J(S→H,D;)=J(4S→(4H,dD,)·J(4S→4W)JW aH,dD;)=J(aw→(R,dD;))J(R→lH) I(x-x)/(dH→R) 此即所要证明的结果。 例168广义球坐标变换是 sin9)eosq,1≤1≤#-2 s6,0≤ ≤m,1≤k≤n-2
sin+ sin,0≤8≤2r,0≤ 则 J(x,…,x→r,q,…,q2,0)-”2n甲 证显然,我们有 sin2 x+…+x a r"sin is n+…+x 利用(1.65)能够证明 1 q1·°“s驴 6 J(x,→0)x-→q-)…J(x→g)J(x→r (1/x)r2 sine sin 8 cos 6.(1/f-1)r2 兰1 sinq Isin p。-2 2 coS pa-2…·(1/x2)r2 sIn pI COS P1 XOr in t/cos d I r/ cos sin t cos p. k=1 (r/cosq2)cosq]· SIn cos wp1 17群与不变性 在多元分析中,一个非常重要的事实是:基于一些统计量的 34