2!:小,”4,,::+组:?,唱, 目 录 引亩… 第一章特征与GA和………………………19 §1.特征 …19 52.Gau和……………… 22 第二章特征和估计与大筛法 …32 51.最简单的特征和估计…………………………32 §2.经典的特征和均值估计…… …34 §3.大筛法……………… 42 §4.新的特征和均值估计…………………49 第三章函数与L函数的中值公式 51.一些引理……………………… 55 52.占函数的四次中值公式………… 53.L函数的四次中值公式……… §4.L函数的二次中值公式…… 第四章零点分布(一) …74 §1.函数与L函数的零点密度估计… 52,G函数零点密度估计的改进……………982 第五章线性素变数三角和估计………………………91 §L. BMHorpaAOB方法 §2.零点密度估计方法… 103 §3.复变积分法 ……169 §4.对小q的线性素变数三角和估计 ……I15 第六章三赛数定理…… ………119 1. Goldbach问题中的圆法………………119 §2.非实效方法……………………………………122 §3.实效方法… 4.奇数表为三个几乎相等的奇素数之和……………133
"N:1 55.N户+P2十………………136 第七章 SELBERG筛法……………………… §I.筛函数 非,,着,,dd 148 §2.最简单的 Selberg上界筛法……………… 53.函数G(,z)和G1(2) 159 §4.筛函数估计的两个基本定理…………………………170 55.函数F(a)和f(4)………………………………175 §6. Jurkat-Richert定理……………………183 第八章算术数列中素数分布的均位定理 51. Bombieri-BHHorpaAaB定理………………………………… 206 §2.一炎新的均值定理………………………………………209 第九章陈景润定理 ……225 §1.命题{L,2}…………………………………………225 52.D(N)上界估计的改进… 第士章零点分布(二)…………………………………253 §1.L函数的若干引理…………………………………253 §2.Turn方法 …………………257 53.L函数非零区域的扩展……… 262 54.L函数在直线a=1附近的零点密度估计………………273 第+一章 Goldbach数(一) §1.E(x)的初步估计… 279 52.B(x)的进一步估计……………… ……………287 §3.小区间上的 Goldbach数……………………306 :6:e: 第十二章 Goldbach数(二)…………………313 §1.一些引理 …3【4 52.定理的证明……………… 320 参考文献 ……………………324
1742,年,德国数学家 Christian Goldbach(1690-1764)在和 他的好朋友、大数学家 Leonhard euler(1707-1783)的几次通信 中,提出了关于正整数和素数之间关系的两个推测用现在确切的 话来说,就是: (A)每一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和; (B)每一个不小于9的奇数都是三个奇素数之和 这就是著名的 Goldbach猜想。我们把猜想(A)称为“关于偶数 的 Goldbach猜想”把猜想(B称为“关于奇数的 Goldbach猜想” 由于 2n+1=2(n-1)+3, 所以,从猜想(A)的正确性就立即推出猜想(B亦是正确的. Euler 虽然没有能够证明这两个猜想,但是对它们的正确性是深信不 的.1742年6月30日,在给 Goldbach的一封信中他写,:我认 为这是一个肯定的定理,尽管我还不能证明出来 Goldbach猜想提出到今天巳经有237年了,可是至今还不能 最后地肯定它们的真伪。人们积累了许多宝贵的数值资料,都表 明这两个猜想是合理的。这种合理性以及猜想本身所具有的极其 简单、明确的形式,使人们和 Euler一样,也不由得不相信它们 是正确的.因而,二百多年来这两个猜想一直吸引了许许多多数 学工作者和数学爱好者特别是不少著名数学家的注意和兴趣,并 为此作出了艰巨的努力.但是,直至本世纪,对这两个猜想的研究 才取得了一系列引人瞩目的重大进展。迄今得到的最好结果是, (1)1937年,苏联数学家H.M. BHHorpaIoB'3证明了:每一个 1)例如, Shen Mok Kong验证了猜想(A)对于所有不超过33x10°的偶数都是 正确的
充分大的奇数都是三个奇素数之和:(2)1966年,我国数学家陈景 润证明了:每一个充分大的偶数都可以表为一个素数与一个不 超过两个素数的乘积之和.这是两个十分杰出的成就. BHHorpa IoB的结果基本上证明了猜想(B)是正确的所以,现在说到 Goldbach猜想时,总是只指猜想(A),即关于偶数的 Goldbach猜 想 下面我们简要地谈一谈研究 Goldbach猜想的历史 从提出 Goldbach猜想到十九世纪结束这一百六十年中,虽然 许多数学家对它进行了研究,但并没有得到任何实质性的结果和 提出有效的研究方法。这些研究大多是对猜想进行数值的验证, 提出一些简单的关系式或一些新的推测(见L.E. Dickson: Histo- ry of the Thcory of Numbers,l,42l-425).总之数学家们还想 不出如何着手来对这两个猜想进行哪怕是有条件的极初步的有意 义的探讨。但我们也应该指出:古老的筛法,以及在此期间内 Euler,Gaus, Dirichlet, Riemann, Hadamard等在数论和函数论方 面所取得的辉煌成就,为二十世纪的数学家们对猜想的研究提供 了强有力的工具和奠定了不可缺少的坚实基础 1900年,在巴黎召开的第二届国际数学会上,德国数学家D Hilbert在其展望二十世纪数学发展前景的著名演讲中,提出了二 十三个他认为是最重要的没有解决的数学问题,作为今后数学研 究的主要方向并期待在这新的一个世纪里数学家们能够解决这 些难题。 Goldbach猜想就是 Hilbert所提出的第八冋题的一部分 但是,在此以后的一段时间里,对 Goldbach猜想的研究并未取得 什么进展。1912年,德国数学家E. Landa在英国剑桥召开的第 五届国际数学会上十分悲观地说:即使要证明下面较弱的命题 (C),也是当代数学家所力不能及的: I)后来,Eopo3nK具体计算出,当奇数N≥""时,就一定可以表为三 个奇素数之和,c”是一个比10的100万次方还要大的数(目前知道的最大 素数是 Mersenne素数21-1,这只是一个6533位数).而对于如此巨大的 数字,我们根本没有可能来一一验证对所有小于它的每一个奇数来说,猜想(B) 是否一定成立,所以, BHHorpaAoB是基本上解决了猜想(B)
到计￥到,时好学要解 (C)存在一个正整数k,使每一个≥2的整数都是不超过 个素数之和 192l年,英国数学家G.H.Hrdy在哥本哈根数学会作的 次讲演中认为: Goldbach猜想可能是没有解决的数学问题中的 最困难的一个 就在一些著名数学家作出悲观预言和感到无能为力的时侯 他们没有料到,或者没有意识到对 Goldbach猜想的研究正在开始 从几个不同方向取得了为以后证明是重大的突破,这就是:1920 年前后,英国数学家 hardy, Littlewood和印度数学家 Ramanujan 所提出的“圆法”1:;1920年前后,挪威数学家Bun1所提出 的“筛法”;以及1930年前后,苏联数学家Ⅲ IHHPeJbMaH0所提出 的“密率”在不到50年的时间里,沿着这几个方向对 Goldbach 猜想的研究取得了十分惊人的丰硕成果,同时也有力地推进了数 论和其它一些数学分支的发展 (一)圆法 首先我们来谈谈圆法.从1920年开始,Hrdy和 ittlewood 以总标题为《 Some problems of“ Partitio numerorum”》发表了七篇 论文,在这些文章中,他们系统地开创与发展了堆垒素数论中的 一个崭新的分析方法.其中1923年发表的第Ⅲ】V二篇文章就 是专门讨论 Goldbach猜想的.这个新方法的思想在1918年 Hardy和 Ramanujan的文章中已经出现过.后来人们就称这个 新方法为 hardy- Littlewood. Ramanujan圆法.对于 Goldbach猜患 来说,圆法的思想是这样的:设m为整数,由于积分 d e(mada= lo, m* x0, 1) 其中c(x)“c2n,所以方程 p1+P2,P,2=3 的解数 3