14“向量化”算子和 Kronecker积 在本书中,我们总假定cn)〓(0,,0,1,0,…,0)是第 i个元素为1的nX1向量且EHm,n)em)e(n),有时, 为筒单起见,我们把它们记为c;或E;,显然,我们有下列基本 的结果: (1)ee;=b;,其中δ;-1且对i≠j有;-0 (2)E e O,ici (3)E浮E·8;E4 (4)I-∑E-∑e; (5)Em,n)〓[E;m,n)]〓E群,m)。 1.41“向量化”算子 定义1.41设A=(a1∴…,a)是n×p矩阵。定义一个 n维向量 aL (1.4.1) 其中“vec"可看作一个算子 显然 () 1) (1.42) 其中 我们有下列基本的结果: (1)vec(cA+dB)cvec(A)+decB),其中和d是实 数 (2)A-∑aE;-2a;i:-2a;c:-∑ eia;》 3 ∑a;e;且 A 15
A (5)tr(End (6)tr(AB)-∑a;b;一(vec()(vec(B)) 我们只证明(6)。由(2),(3)和(4),我们有 t(AB)∑ABc;∑anb一(vec(4)(vec(B) 1.42 Kronecker积 定义14,2设A一(a;)和B分别是n×p和m×q矩 阵。则A和B的 Kronecker积是一个nm×pq的矩阵,定义作 B B (14.3) A8B=(aB)-:: aB 1 B Kronecker积在多元分析中是一个有用的工具.由定义(1.43), 我们立得下列结论: (1)(aA)⑧B〓A⑧(mB)〓a(A⑧B),其中a是实数 (2)A⑧(B+C)=A⑧B+A②C, (B+C)⑧A如BA+C⑧A (3)(4⑧B)⑧C如A⑧(B⑧C) Il。-l∞I (5)(A⑧B)-A⑧B (6)(4⑧B)(C8D)=(AC)(BD) (7)若A和B是非异方阵,则 (A8B)1-A1⑧B-1 这是因为由(6)和(4),我们有 (AB)(A-8B-1)-(AA1⑧(BB-1)〓I②l-L (8)设A,K和B分别是n×m,m×p和P×q矩阵, 则我们有 (144) vec(AXB)〓(B8A)vec(X
用(A):和(A)分别表示A的第i列和第j行,我们有 (AXB)-AXBe"A>(X); e;Bet ∑A(X)(Bc)一∑b从(x) X) ((B):0 4)vec(X) (X)p 因而 (AxB)21[(B)②痉 vec(AXB) vec(x) (AXB)][(Ba)② (B⑧A)veX) (9)tr(ABB)=(tr(d)(tr(B)). (10)设x和y是列向量.则xy"x8y-y∞x (11)设A和B分别为具有特征值{4;,-1,,n和{# 1,……,m}的n×n和m×m矩阵,设x和y分别是相 应于;和的A和B的特征向量,则{,-1, 1,…,m}是A⑧B的特征值,{x2⑧y;,i1,nj-1, ,m}是相应的特征向量 现在,我们来证明这个论断。由(1.21),存在H∈O(n)和 P∈o(m)使得 dHH和BPVP, 其中T∈Ur(n)且λ1,…,λn为其对角元素,而v∈Ur(m)且 ,…,pn为其对角元素。因此, A囚B=(HTH)8(PVP)一(H⑧P)(T囚V)H⑧P)。 显然,H⑧P∈O(nm),T⑧v∈UT(m)且{;,-1,丌 j〓1,…,m}为其对角元素,亦即{λ两,1,,n一1 m}是A⑧B的特征值。由于 (AB)(xy;)-(dx;)⑧(By;)一(4;x,)⑧(H;y; 又;两(x1②y;), 故x;⑧y;是相应于λ;两的A⑧B的特征向量,t=1,…,丌 17
由(1),我们直接得到以下性质 (12)若A和B分别是n×n和mXm矩阵,则 (145) A⑧B|={畔(B!" 1.43置换矩阵 在许多情况下,人们希望建立ve(x)和vec(x)之间的关 系式。为此目的:我们霑要置换矩阵的概念 定义】4.3炬阵 (1.46) K解∑E;(m,n)⑧E(m,n) 称为m×n阶置换矩阵 置换矩阵有如下性质: (1)设A=(a)是m×n矩阵。则我们有 (147) vec()〓 Huvec(A) 证 vec(A)ved >>a: E; (m, n) a(21(m me∑∑-;n)e(m)Ae(n)em) mve∑∑E(m,n)AE(m,n) ∑∑ve(E(m,n)E;(m,n)(由(1.4.4) ∑∑E,m,n)Em,n)ve(A) Knave(A) 18
(2)设A和B分别是n×s和m×r矩阵,则 Kn(AQB)Kn=B⑧ 证对任何5×t短阵X,我们 Km(4②B)K,vec(x)一Kn(A8B)ve(x) Kmavec(BXn)=vec(BX'd)=vec(AXB) (BOAvcc(X) 结论得证 (3)Km=Knm,K1n一Kn1一1 (4)Km[veE),vec(En),…,ve(Em),…, vec(E1) vech E (MsdI 证由定义14.3,(3)显然。我们只证明(4 K c(A')e vec a:es glivec(E) Ivec(En), vec(E,),.,vec(Em),.. Eim), vec(E vec(Ems)] (5)Km=∑(en)⑧ln8e;(n) E((m)1318(m) (6)KnK〓l,即K。是正交矩阵 我们只证明(6)由K的定义,我们有 Kk…-(E8EN形8E) ∑∑∑∑(EE:)8(E;E ∑∑∑∑(6n,E1)8(a1En)