∑h一(,…,A,料)≌ 3)如果A≥0(≥0),则存在A2>0≥0)使得A A+团,在本书中,我们总是以A表示(4)-这里A可以 如下分解: (12.3) A≌HAH, 其中和A如(122)定义且=aig(l,…,x.更一股 地,我们有 (124) f(aHf(AH, 其中f(4)-dag(f(l1),…f(λ,))且f·)是一个Boe】函 数 (4)如果A≥0是秩为r(≤P)的PXP阵,则 (i)存在一个秩为r的P×P阵使得 (1.25) dem BB (i)存在一个P×P非异阵C使得 O (126) (i)存在T∈UT(使得 (1.27) AT T 当T的对角元素非负时,(1.27)称为 Cholesky分解。如果A> ,则 Cholesky分解是唯一的。 (5)若A是一个n×pn≥P)矩阵,则A能作如下分解: (1.28) A〓UB. 其中U是n×P矩阵,满足UU〓l且B>0.若rk()一P 则B>0或 (1.2.9 B 其中U∈O(p)且B定义作(1.2.8)或 (1210) deut 其中U是XP矩阵,满足UU一l且T∈UT(P)具有非负 10
的对角元系,当k(A一p吋,全部对角元素都是正的 若rk(A)一r,则存在n×r和r×P矩阵F和G,使得 (1.2.11) d- FG (6)设A和B分别是×m和×龔矩阵,m≤n。则 A=BB当且仅当存在m×n矩阵H满足HHl使得 AH s B (7)若A是n×p矩阵(n≥p),则 A=UAV 其中U是n×P矩阵,满足UUl,V-0(p),A=diag(1, ……·,4p)且1,…,是dA的特征根,或 (12.13) Ae H(O'V 其中H∈O(n),V和A与1.2.12)中的相同且O是n×(n-p) 矩阵.(1212)或(1.213)称为退化值分解。 (8)若A1,…,A是对称阵使得A1↓,0,i≠ji一 1,…,,则存在正交阵H使得HAH-A;A;3i一I…k,是 对角阵 (9)设dA是nxn非异阵。若讠阶主子式非零,i-1, n,则 (12.14 datU 其中T∈LT(n疽且U一()∈UT(n)满足;,=1,i-1, r (10)若A和B是#×n矩阵,A>0且B=B则存在 nXn非异阵H使得 (1.215) d=HH,B一HAH 其中A一d3g(1……,λ且λ1,…,,是A1B的特征值。若 B>0且λ1,……,廴。各不相同,則H唯一,只差H的首行的每一 元素改变符号。 11
1.3矩阵J广义逆 定义131给定nXP矩阵A,若存在PXn矩阵X使得 1.3.1) AXA= A 则X称为A的广义逆矩阵,记作X-A 首先,我们指出,对任何A都存在广义逆矩阵。若rk(A) r,则由(1211),A可表示为 (1.3.2) A四 2, 共中P和Q分别为nXn和p×P的非异阵。我们有 AXAdeP OXP 0 o I O I。O OXP t oo oO oO 记 OXP- T 其中Tu:rxr,则AXA=A当且仅当T1=且 T X-2 其中T,T2和T2可以是任意的、由(13.3),我们立得如下结 论 (1)rk(A)≥rk(A 2)d"是唯一的,如果A是非异方阵,此时,A=A (3)rk(A)ark(Ad)=rk(a d)=tr(A)=tr(A" 1), 因为 T (1.34)AA=P P,4 A=g O T O 因此,A4和A^A都是冪等的 12
(4)若rk(A=p,则AA一lp若rk(4)=n,则AA= (5)对每一个A, (1.3.5) A'A(A'A)4=A, A(AA)A'A m- d 因为Ax=0→4Ax=0→xAAx=0→Ax=0,故我们有 (136) AAx=AAy<→Ax=Ay 和 (1.3.7) AAx=A<→Ax=Ay 由这两个关系式,(13.5)得证 (6)A(4A)是投影矩阵,它与(AA)的取法无关。 设(A)和(dA)是AA的两个广义逆矩炸,由定义 A'A(AiAA= A'A=t'A(AAi4'A 因此,由(136)我们有A(AA)4=(AA)2A.因而A(A A)d与(44)的取法无关;特别,我们可把一个对称阵取作 (AA).利用(13.5),我们有 (A(A4)d)2 A(adA'A(Ad)d'mA(A4)"A 所以AA)是投影阵 因4不唯一,故在许多情况下给我们带来了不方便。这样 人们总希望定义一种唯一的广义逆矩阵。 定义1.32令A是n×P矩阵。若存在P×m矩阵X使得 AXd aa 4 XX = X (1.3.8) l(Axy= Ax (xa=x4 则x称为A的 Moore- Penrose逆矩阵,记作X=小 现在我们来证明d-的存在唯一性,设r=rk(A).若r 则A=0且取A0.若r>0,则存在P(nXr)和Q(P t)使得r=rk(P)rk(9)和A一PQ(见(1211))所以 (PP)和(QQ)存在。设 (1.3.9 X=2(29)-(PP)P 现在,我们验证X满足(138)的条件 AXA=P22(gg)(PP)PPgm Pg=4, 13
XAX=g(22)(P'P)PP22(92)(PP)P 0(09)(PP)P'maX AX=P(PP)P’是对称阵, 且 XA=Q(Q)Q是对称阵 因此,X是A的 Moore- Penrose逆矩阵。令姓和A是A的两 个 Moore- Penrose逆矩阵.则 =娃A且()且!=d()A(星 A(AA)(AH)〓AA一AA, 且 m酎A肚一()什=A()(丑)A (AA)(+A)一AA=AAA 故d〓A 下面介绍 Moore- Penrose逆矩阵的一些基木性质,这些性质 可以由定义和(1.39)直接推出 (1)若rk(A)n,则A+一A(AA)-;若rk(A)一P,则 (AA);若rk(A) p,则 )(+) (3)A+-(HA)+A=A(Af) (4)(AA)+"A+(A+) (5)设A一PQ且rk(A)=rk(P)=rk(Q) A+=(o+)P+ (6)若A是投影矩阵,则A+=A 7)若A-A,则A一HAH(见(122)),其中H∈O(n) 和A一diag(2 n)。设 0,1〓0 则A一 Diag(x,…,λH. (8)A4+和A+A是投影矩阵。 14