Au+ Bu 4u+ B A2+B21A2十B 同样,如果×l矩阵C C 12 C C 其中Cn:9×r;cn:q×(l-r),Cn:(p-q)×r,C2:(P 7 Air Cu+ AnC2 duCt+auC A2 Cu+ An Cu d2 Cn+A2C2 如下的结果是非常有用的; (1)设A是PXP非异阵且B=4以相同方式把A和B 分块 A B B B B 其中A1:q×q和A2:(P-9)×(p-q).记 GaZa,aA 22 Andi'A (117) B 41A1242 B A22'd2diilr Bn2 d 或 (1..8)B1=A12+A1A1242142i1B An And 2.1 B2r=-Aii4udin B 或 11 B1 B 424a B 4221f2h1Az+A2 (2)设A按(15)分块且A12和A21如(11.6)沂定义。 ()若」A2≠0,则」=1A12|A12| (i)若|An|≠0,则|A=1A1d2l (i)若an1≠0,|A2l|≠0,则 22. A A
(3)设A和B分别为p×P和q×q非异阵且C利D分别是 ×q和q×P矩阵,则我们有 (1.1.10)〈A÷CBD)4=A1-ACBB+ BDACB)BDA. 特别,令B=l,C=#和D=一,则 (11.11)(A-)=4+(Aw4)/(1 (4)若X是由(11.2)表示的n×P矩阵,则 x1x1……XX (1.1.12) XX= toEs. 11矩阵的秩 定义115令A是罪XP矩阵。我们称A有秩r,记为 k(A)〓r,如果它的r阶子式至少有一个不等于琴,而所有的 十1阶子式都等于零 显然,rk(O)一0,并且rk(A)=P,如果A是P×P非异 阵。我们能够验证下列性质 (1)rk(d)rk(d')mrk(4)=rk(AA). (2)rk(A)≤min(n,P),其中d:n×P (3)rk(AB)s min(rk(A),rk(B)). (4)rk(A+ B)srk(4)+ rk(B). (5)rk(ABC)-xk(B),若A和C是非异方阵 (6)若A和B分别是P×q和q×r矩阵使得AB=0,则 k(B)≤q-rk(A) 1.1.6矩阵的迹 定义11.6P阶方阵A=(a;)的迹定义作其对角元素之 和,记为tr(A)=∑a
我们有以下基本的事实: (1)tr(4)-tr(!) (2)tr(a+ B)=tr(4)+tr(B). (3)tr(AB)→tr(BA) (4)tr(ca)e ctr(a). 在本书中,我们总假定ex(x)-e并且 (1t.13) etr(4)be exp(tr(A)) 1.17特征根和特征向量 定义11.7P阶方阵A的特征根定义为特征方程 (1.1.14) d-l|=0 的根 (1114)的左边是x的P次多项式,因而这个方程刚好有P 个根。这些根不一定是不同的,它们可以是实的或是复的或者两 者兼有,如果λ是A的特征值,则}A~λ1x-0,因而A一λ 是奇异的。这样,存在非零向量x使得(A一观1)x=0,艺称为相 应于λ的A的特征向量如果A有r重特征根,则存在相应于 λ的r个正交特征向量 我们有以下的有用的结果 (1)如果A是P阶实对称阵,则它的全部特征根都是实的设 又1≥k1≥…≥是A的特征根。设x(A)ag(1,…,4p (2)相应于对称阵的相异的特征根的特征向量是相互正交 的 3)如果B一PAP-,其中A,B和P是方阵且P非异,则 A和B有相同的特征值 4)A和A有相同的特征根。 (5)AB和BA的非零特征根祖同 (6)如杲A〓 diag(an,……,ap),则an,…;a是A的特 征根并且e=(1,0,,0),2=(0,1,0,…,0),…,e一(0, …,0,1)是相伴特征向量
(7)如果A的特征根是1……,p,则4的特征垠是213, (8)如果A∈O(p),则它的所有的特征根的绝对值是1 (9)如果A∈UT(p)或LT(P),则A的特征报为a1 aφ(对角元) (10)如果A的特浪为λ,…,则A-k的特征狠为 18正定阵 定义11,8p×P对称阵A称为正(鱼)定的,如果对每个 x≠0有xx>0(<0),记作A>0(<0);A称为半正(负)定 的,如果对每个x≠0,有xAx≥0(≤0),记作A≥0(≤0) 如果A的r×r子阵的对角元素也是A的对角元素,则该子 阵的行列式称为r阶主子式,记为A1,其中1,…·,是该子 阵中对角元泰的次序。当(i1…i)=(1,…,)时,我们则把 A1,,记为A 在本书中,下列的事实是需要的 (1)A>0当且仅当A>0,r1,…,P (2)A>0当且仅当A1>0 (3)如果A>0且A分块如(115),则A1>0,A2>0, A1:x>0和d21>0,其中A12和A21(1.1.6)定义 (4)一个对称阵是正定(半正定)的,当月仅当它的全部特征 根是正的(非负的) (5)设A>0是P×P方阵且B是秩为r的q×P矩阵.则 BAB>0,若rq;BAB'≥0,若r≤9。特别,对任意B有 BB≥0。 (6)如果A>0,B>0和A-B>0,则B-1-a-1>0 且(A|>|B|。此时,我们记A>B
1.19投影矩阵 定义1.19矩阵A称为幂等的,如果A2=A;A称为三幂 等的,如果A=A.对称的幂等阵称为投影阵, 在本书中,我们常常要用到投影阵.它有如下的一些有用的 性质 (1)如果A是投影阵,则I一A也是投影阵 (2)如果A是投影阵,则tr(4)=ck(A) (3)一个投影阵的特征根是0或1 2矩阵的因子分解 在多元分析中,一个特别有用的工具是矩阵的因子分解。在 许多多元分析的教科书中都有有关矩阵因子分解的附录。例如 Murihead书的附录中就有非常好的这方面的内容。这里,我们只 列由一些有用的结秉而不加证明 (1)如果A是一个有实特征根约PXP实矩阵,则 (121) A〓HTH 共中H∈O(p),T∈UT(p),其对角元素是A的特征根 (2)如是A是P×P对称阵,其特征值为 P 则 (122) dEHAH 共中H∈O(p)且A-diag(1,…,2)。如果H〓(h h),则h是相应于2;-1,…,p,的A的特征向量.我们常 常假设λ1如2≥…≥λ而且如果λ1……,。是不相同的, 则(122)的表达式是唯一的,除H的第一行的每一个元素改变符 号外。我们能够把(122)改写为下式 此式称为A的谱分解。当λ ,-1和+! λ-0时,上述分解变为 9