65应用………………………279 651双重筛选逐步国归方法(DSSR方法) 279 6.5.2例 282 6.5.3判别分析和可归………………286 参考文献 ……291 练习6………… 291 参考文献…… 293 索引… 299
第一章矩阵理论和不变性 在本章中,我们将介绍本书要用到的矩阵代数的一些重要定 义和结果。对于读者已熟悉的一些基本结果,我们只叙述面不证 明,仅对那些在矩阵代数书中不常见的结果给出证明,本章的最 后一节将定义和讨论一些群的理论并给出本书所需要的在群下的 多种极大不变量 11定义 1.11矩阵 定义11.1按一定顺序排列的实元素a;的矩形阵列叫做 n×P实矩阵A: (1.11) 记作A一(a; 如果n-P,则A称为阶方阵。如果p=1,则A是一个列 向量;而如果n一1,则A是一个行向量.大小相同的个矩阵 A(m×p)和B(n×p)称为相等的(记作d=B),如果对于 1,…,njm1…P有a-b若所有的a;=0,则A称 为零矩阵记作A一0。若夕〓而a;=1t=1,…P且 a;0,t≠j,则A称为户阶单位矩阵,记作A-l,或dl p×P矩阵的对角元素是a1;…, 龔ⅩP矩阵A的转置是P×#矩阵A
它是由交换A的行与列的位置而得到的。矩阵A可由元素、列和 行表示如下: (1.1.2) 设A是P阶方阵A称为对称的,如=A,A称为斜对 称的,如A一-A.显然,斜对称的所有对角元素都悬零 P阶方阵A称为对角阵,如是它的所有非对角元素都是零,记 作 A e diag(叫,…;ap).如果P阶方阵A-(a;)中对j<i 有a=0,则A称为上三角阵,记作UT();如果对j>i有 a;-0,则A称为下三角阵,记作LT(P)。P阶方阵称为正交的, 如果AA-AA〓p,记为deO(P) 两个n×P矩阵A和B的和定义作A十B=(a;+b;)两 个矩阵A(P×q)和B(qXr)的积是Pr矩阵C,定义作 AB=C,其中 矩阵A与数a的乘积定义为mA=(a) 能够验证,如上定义的运算有如下的性质(这里,如果涉及到 矩阵的和或积,我们假定它们都是有定义的) A+B=B十A (A+B)+C=A+(B+C) A+(-1)A (c十d)A=cA+dA c(A十B)cA+cB (ABY =a B'A
(A) (A+B)一星+ A(BC)一(AB)C A(B+C)=AB+AC (A十B)CAC+BC Al 112行列式 定义1L2P阶方阵A的行列式定义为 A E、ati, 其中E表示对(1,…,P)的所有P个排列x〓(,…,)求和; ,1或一1视丌为偶排列或奇排列而定 d的子矩阵的行列式称为子式。去掉A的第行与第;列而 得到的子矩阵的行列式叫做a;的余子式,将a;的余子式乘以 (一1)就得到a的代数余子式,记作A能够证明: a计 行列式有如下初等性质 (1)对某个i成j若a=0或a;=0,则!A〓0 (2)|4-|4! (3) 4-19a6;a;+19·,a1 (4)iaAl=aPld 5)AB|=|A|!B|和A1…An=|A1…|A。 (6)若A是p×P阵,则A||AA}≥0 A C Ai·|B|,其中A:p×P O B D B B:q×q,C:p×q和D:q×p (8)}+AB-1l+BA|。其中A:pxq和B:g×p
(9)|T|=Ⅱ标,其T一()∈Ur (10)|H1〓±1,若H∈O( 11.3逆矩阵 定义1.l3如果|扑}≠0,则存在唯一的B使得AB=1 B称为A的逆,记作A1 BA的(i,j元素为b;=A;/|A,其中A;是a;的代 数余子式。一个方阵称为非异的,如果它的行列式不等于零,下 列的性厦是初等的 (1)AA Aide 2)(A1)=(4) (3)(AB)ImBa (4)|44=|A (5)d1-A,若A∈O(p) (6)若A gla ),其中a≠0( 则A-diag( (7)若A∈Ur(p),则A)∈UrT(φ)旦其对角元素是a, 1.I.4矩阵的分块 定义】14我们说nXP矩阵A〓(a1分块为子矩阵,如 果 其中A1=(ai), d g+1 A 十主 A 十1 q十1·,P 若大小相同的矩阵A,B类似地分块,则