建立最优化问题数学模型的三要素 (1)决策变量和参数。 决策变量是由数学模型的解确定的未知数。参数表示 系统的控制变量,有确定性的也有随机性的。 (2)约束或限制条件。 由于现实系统的客观物质条件限制,模型必须包括把 决策变量限制在它们可行值之内,即约束条件,而这通常 是用约束的数学函数形式来表示的 (3)目标函数。 这是作为系统决策变量的一个数学函数来衡量系统的 效率,即系统追求的目标
建立最优化问题数学模型的三要素： （1）决策变量和参数。 决策变量是由数学模型的解确定的未知数。参数表示 系统的控制变量，有确定性的也有随机性的。 （2）约束或限制条件。 由于现实系统的客观物质条件限制，模型必须包括把 决策变量限制在它们可行值之内，即约束条件，而这通常 是用约束的数学函数形式来表示的。 （3）目标函数。 这是作为系统决策变量的一个数学函数来衡量系统的 效率，即系统追求的目标
例 对于规划问题, Find X=(ix2,.,xm, m) Min.i=f(X) s.t.,(X)≤O,j=12,…,J m只能取正整数 其中,f(X)与g,(X)均为非线性函数。 请问,这种设计变量数随时可变的问题如何求解?
例
§2最优化问题举例 最优化在物质运输、自动控制、机械设计、采矿冶金、经 济管理等科学技术各领域中有广泛应用。下面举几个专业性不 强的实例。 例1.把半径为1的实心金属球熔化后,铸成一个实心圆柱体, 问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积最小? 解:决定圆柱体表面积大小有两个决策变量:圆柱体底面半 径r、高h。 问题的约束条件是所铸圆柱体重量与球重相等。即 Trh p 4-3 R·p p为金属比重p≠0.R=1
§2 最优化问题举例 最优化在物质运输、自动控制、机械设计、采矿冶金、经 济管理等科学技术各领域中有广泛应用。下面举几个专业性不 强的实例。 例1. 把半径为1的实心金属球熔化后，铸成一个实心圆柱体， 问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积最小？ 解：决定圆柱体表面积大小有两个决策变量：圆柱体底面半 径r、高h。 问题的约束条件是所铸圆柱体重量与球重相等。即 2 3 4 3 r h R = 为金属比重. 0.R =1
即 丌Fhs 即 h 0 问题追求的目标是圆柱体表面积最小。即 2mh+2丌r min(2Trh+2Tr 则得原问题的数学模型 e.t. r-h 0 st→> Subject to.(以….条件) 利用在高等数学中所学的 lagrange乘子法可求解本问题 L(x,b,4)=27mh+2x2-21h 4 分别对rh,求偏导数,并令其等于零有:
即 , 即 问题追求的目标是圆柱体表面积最小。即 min 则得原问题的数学模型： s.t. Subject to.(以…为条件) 利用在高等数学中所学的Lagrange乘子法可求解本问题 分别对r, h,λ求偏导数,并令其等于零.有: 3 2 4 r h = 0 3 2 4 r h − = ( ) 2 2rh + 2 r ( ) 2 2 min 2 2 4 . . 0 3 rh r s t r h + − = ( ) 2 2 4 , , 2 2 3 L r h rh r r h = + − −
OL 2Th+4Tr-2rh=0 OL 2nr-r2=0 →h=2r ah OL h+-=0 → h=2 此时圆柱体的表面积为6
此时圆柱体的表面积为 2 2 2 4 2 0 2 0 2 4 0 3 L h r rh r L r r h r h L r h = + − = = − = = = − + = . 3 2 r = 3 3 3 2 h = 2 3 2 3 2 6