第3讲凸集、凸函数、凸规划 凸性( Convexity)是最优化理论必须涉及到基本概念具有凸性 的非线性规划模型是一类特殊的重要模型,它在最优化的理 论证明及算法研究中具有非常重要的作用 凸集( Convex set) 凸函数( Convex function) 凸规划( Convex programming)
第3讲 凸集、凸函数、凸规划 • 凸集 (Convex Set) • 凸函数 (Convex Function) • 凸规划 (Convex Programming) 凸性(Convexity)是最优化理论必须涉及到基本概念.具有凸性 的非线性规划模型是一类特殊的重要模型，它在最优化的理 论证明及算法研究中具有非常重要的作用
凸集-定义 线性组合( inear combination ∑λx,其中∈R,x∈R",=1,2,…m i=1 仿射组合( Affine combination) ∑4x,其中4∈R,x∈R", i=1 i=1 凸组合( Convex combination) ∑x,其中∈R,x∈R",=1,2,m且∑气=1 凸锥组合( Convex cone combination) ∑4x,其中1∈R,x∈R",=1,2…m i=1
凸集---定义 , , , 1,2,... , 1. 1 1 = = = = m i i n i i m i i xi 其 中 R x R i m 且 , , , 1,2,... . 1 x R x R i m n i i m i i i = + = 其 中 线性组合 (linear Combination) , , , 1,2,... . 1 x R x R i m n i i m i i i = = 其 中 仿射组合 (Affine Combination) , , , 1,2,... 1. m i 1 i 1 = + = x 其 中 R x R i = m且 = n i i m i i i 凸组合 (Convex Combination) 凸锥组合 (Convex Cone Combination)
凸集定义 例二维情况下,两点x1,x2的 (a)线性组合为全平面; (b)仿射组合为过这两点的直线 (c)凸组合为连接这两点的线段 (b)凸锥组合为以原点为锥顶并通过这两点的锥
凸集---定义 例 二维情况下，两点x1 , x2 的 (a)线性组合为全平面； (b)仿射组合为过这两点的直线； (c)凸组合为连接这两点的线段； (b)凸锥组合为以原点为锥顶并通过这两点的锥
凸集-定义 x (c)凸组合为线段 a)线性组合为全平面(b)仿射組合为直线 (严格门维合不含端点 r1 B d)凸锥组合 A严格凸集 B凸集但不严格 C非凸集
凸集---定义
凸集--定义 定义1设集合DcR",若对于任意两点 x,y∈D,及实数a(0≤a≤1),都有: ax+(u-a)y∈D, 则称集合D为凸集 常见的凸集:单点集{x},空集,整个欧氏空间Rn, 超平面H={x∈R"a1x1+a2x2+…+anxn=b} 半空间 H+-{x∈R"ax+a2x2+…+anxn≥b x∈Rna2x≥b
凸集---定义 定义1 设集合 , n D R 若对于任意两点 x , y D, 及实数 (0 1), 都有： x + (1−)y D, 则称集合 D 为凸集． 常见的凸集：单点集 { x }，空集 ，整个欧氏空间 Rn ， 超平面： , H x R a1 x1 a2 x2 an xn b n = + ++ = 半空间： 1 1 2 2 = n n n n T H x R a x a x a x b x R a x b + = + + +