电动力学习题参考第六章狭义相对论解：取固着于观察者上的参考系为Z'在z系中：1,=lcose，l,=lsine1214在系中，=Icos0,I, =1.102-Isinetge..tgo28.两个惯性系和中各放置若干时钟，同一惯性系的诸时钟同步，Z相对于Z以速度V沿x轴运动，设两系原点相遇时，问处于系中某点（x，y，z）处的时钟0与系中何处时钟相遇时，指示的时刻相同？读数是多少？解：根据变换关系，得：yAy'2x-vtEY· (1)OPc2(2)(3)o'+X(4)设Z系中P(x,y,z,t)处的时钟与Z'系中Q(xy",=,t)处时钟相遇时，指示时间相同：c2v2..在（4）式中，有t=t，解得：x）代入（1）式，t(lY1a得：t614相遇时：t={c2-(1nV即为时钟指示的时刻。9.火箭由静止状态加速到v=V0.9999c，设瞬时惯性系上加速度为=20m·s-2，问按- 6 -
电动力学习题参考 第六章 狭义相对论 - 6 - 解 取固着于观察者上的参考系为Σ′ 在Σ 系中 l x = l cosθ l y = lsinθ 在Σ′ 系中 2 2 2 2 1 cos 1 c v l c v l l x = x − = − ′ θ l y = l y = lsinθ ′ 2 2 1 c v tg l l tg x y − = ′ ′ ∴ ′ = θ θ 8. 两个惯性系Σ 和Σ′ 中各放置若干时钟 同一惯性系的诸时钟同步 Σ′ 相对于Σ 以速度 v 沿 x 轴运动 设两系原点相遇时 0 0 0 =′ t = t 问处于Σ 系中某点 x y z 处的时钟 与Σ′ 系中何处时钟相遇时 指示的时刻相同 读数是多少 解 根据变换关系 得 − − ′ = ′ = ′ = − − ′ = (4) 1 (3) (2) (1) 1 2 2 2 2 2 LL LLLL LLLL LL c v x c v t t z z y y c v x vt x 设Σ 系中 P(x, y,z,t) 处的时钟与Σ′ 系中Q(x′, y′,z′,t′)处时钟相遇时 指示时间相同 ∴在 4 式中 有t = t′ 解得 (1 1 ) 2 2 2 c v t v c x = − − 代入 1 式 得 x c v t v c x′ = − (1− 1− ) = − 2 2 2 相遇时 (1 1 ) (1 1 2 2 2 2 2 c v v x c v v c x t t = + − − − = ′ = 即为时钟指示的时刻 9 火箭由静止状态加速到v = 0.9999c 设瞬时惯性系上加速度为 2 20 − v = m ⋅s & v 问按 y o y’ o’ z z’ x x’ Σ v Σ′ P Q
电动力学习题参考第六章狭义相对论照静止系的时钟和按火箭内的时钟加速火箭各需要多少时间？解：1）在静止系中，加速火箭令静止系为Z系，瞬时惯性系为系，且其相对于系的速度为u，可知，立记同向，并令此方向为x轴方向由x轴向上的速度合成有：v'+uV=（是火箭相对于Z系的速度）,uv1+-?a'dvu为dv'=(1-(a':在Z系中，加速度为a=c?dtdt'(1 +c3本题中α=20m·s-2，而Z'系相对于火箭瞬时静止，u=vv=0dvy"=a'(1..a=dtO0.9999cdya'dt:(1c1= 100/0.9999c=47.5年得：a'10.一平面镜以速度v自左向右运动，一束频率为。，与水平线成。夹角的平面光波自左向右入射到镜面上，求反射光波的频率の及反射角θ，垂直入射的情况如何？解：1）平面镜水平放置，取相对于平面镜静止的参考系为系，取静止系为Z系，并令入射光线在平面xoy内在之系中，有：入射光线：k=kcos0o,k,=ksino,k=0,の,=0o由变换关系，得系中的入射光线：-7-
电动力学习题参考 第六章 狭义相对论 - 7 - 照静止系的时钟和按火箭内的时钟加速火箭各需要多少时间 解 1 在静止系中 加速火箭 令静止系为Σ 系 瞬时惯性系为Σ′ 系 且其相对于Σ 系的速度为 u 可知v v u v & v v , , 同向 并令此方向为 x 轴方向 由 x 轴向上的速度合成有 2 1 c uv v u v + ′ + = v′是火箭相对于Σ′ 系的速度 ∴在Σ 系中 加速度为 3 2 2 3 2 2 (1 ) (1 ) c uv a c u dt dv a ′ + ′ = = − ) dt dv a ′ ′ ′ = 本题中 2 20 − a′ = m ⋅s 而Σ′ 系相对于火箭瞬时静止 ∴u = v,v′ = 0 2 3 2 2 (1 ) c v a dt dv ∴a = = ′ − ∫ ∫ = ′ − ∴ c t a dt c v dv 0 0.9999 0 2 3 2 2 (1 ) 得 47.5 100 0.9999 = ′ = a c t 年 10 一平面镜以速度 v 自左向右运动 一束频率为ω0 与水平线成θ 0 夹角的平面光波自 左向右入射到镜面上 求反射光波的频率ω 及反射角θ 垂直入射的情况如何 解 1 平面镜水平放置 取相对于平面镜静止的参考系为Σ′ 系 取静止系为 Σ 系 并令 入射光线在平面 xoy 内 在Σ 系中 有 入射光线 0 0 0 kix = k cosθ , kiy = k sinθ , kiz = 0,ωi = ω 由变换关系 得Σ′ 系中的入射光线
电动力学习题参考第六章狭义相对论1k =v(kcos。-30)k=-ksino.k=0[0, = v(0。-vkcos0.)在Z'系中，平面镜静止，由反射定律可得，反射光线满足：km =v(kcos--00),k, = ksino.kr =0,0,=v(0o-vkcos9。)代入逆变换关系，得系中的反射光线满足：20)+Vk,=v[v(kcos。-v(o。-vkcos.)=kcosoCC-k,=ksingk=00, =v[vv(kcos. -)+(o - kcose,)=0.：在≥系中观察到：入射角=号-=反射角，0,=0,=0。2元，以上结论不变。若垂直入射，0.:23）镜面垂直于运动方向放置，同1）选择参考系，并建立相应坐标系在Z系中，入射光线满足：kx=-kcoso。,=-ksino,k=0,の=の由变换关系，得'系中的入射光线：Vkx = v(-kcos。-0。Ck=-ksing。k=0[0, = v[0-1(-kcos,)]=v(0。+vk cos0.)在系中，平面镜静止，由反射定律可得，反射光线满足1k.=-v(-kcos。--0)=v(kcos0。+0.)km=-ksin0Ck,=0,o, =v(o+vkcoso)代入逆变换关系，得系中的反射光线满足：-8 -
电动力学习题参考 第六章 狭义相对论 - 8 - = − ′ =′ = − ′ = − ′ ( cos ) 0 sin ( cos ) 0 0 0 0 2 0 ω ν ω θ θ ν θ ω vk k k k c v k k i iz iy ix 在Σ′ 系中 平面镜静止 由反射定律可得 反射光线满足 0; ( cos ) ( cos ); sin 0 0 0 2 0 0 ω ν ω θ ν θ ω θ k vk k k c v k k rz r rx ry = − ′ =′ =′ = − ′ 代入逆变换关系 得Σ 系中的反射光线满足 0 2 0 2 0 0 0 ν[ν ( cosθ ω ) ν (ω vk cosθ )] k cosθ c v c v k k rx = − + − = 0 kry = k sinθ = 0 rz k 0 2 0 0 0 0 ω =ν[ ν ( cosθ − ω ) +ν (ω − vk cosθ )] = ω c v v k r ∴在Σ 系中观察到 入射角 − 0 = 2 θ π 反射角 ωi = ω r = ω0 若垂直入射 2 0 π θ = 以上结论不变 3 镜面垂直于运动方向放置 同 1 选择参考系 并建立相应坐标系 在Σ 系中 入射光线满足 0 0 0 kix = −k cosθ , kiy = −k sinθ , kiz = 0,ωi = ω 由变换关系 得Σ′ 系中的入射光线 = − − = + ′ =′ = − ′ = − − ′ [ ( cos )] ( cos ) 0 sin ( cos ) 0 0 0 0 0 0 2 0 ω ν ω θ ν ω θ θ ν θ ω v k vk k k k c v k k i iz iy ix 在Σ′ 系中 平面镜静止 由反射定律可得 反射光线满足 0; ( cos ) ( cos ) ( cos ); sin 0 0 0 2 0 0 2 0 0 ω ν ω θ ν θ ω ν θ ω θ k vk k k c v k c v k k rz r rx ry = + ′ =′ = − ′ = − − − = + ′ 代入逆变换关系 得Σ 系中的反射光线满足