则对于区间a≤1≤b上的任何数，及任一常数向量刀 ,方程组(5.4)存在唯一解(0)，定 义于整个区间a≤1≤b上，且满足初始条件p()=7。 思考：将该定理与第三章存在唯一性定理比较，有何不同？ 类似于第三章，我们分五步来证明。 第一步：证明(5.4)的定义于区间a≤1≤b满足初始条件p(%)=7的解等价于积分方程 x()=n+[A()x(s)+f(s),a≤1≤b(5.8) 上的连续解。证明完全类似于第三章，这里略去。 第二步：构造皮卡逐步逼近向量函数序列： [%()=n 9回=n+[4A(+fj]达，a≤sbk=l2.59) 对所有的正整数k,向量函数：()在区间a≤1≤b上有定义且连续。 第三步：证明向量函数序列{网()}在区间a≤t≤b上是一致收敛的。 思路：考察向量函数级数： (0+∑[0(0-]a≤1≤6(5.10) 由于级数的部分和为：风0+2[g,()-P(]=m.0),所以要证明序列{a.()在区间a≤1≤b上 是一致收敛，只需证明级数(5.10)在a≤1≤b上是一致收敛的。因为A()和f()在区间a≤1≤b上是 连续，所以A()训和/()川都在a≤1≤b上有界，则存在常数L>0和K>0,使得 A()训≤L,f(训≤K,a≤1≤b,取M=LW+K,下面只需证明序列{A()}在区间6≤1≤b上 一致收敛，另一区间a≤1≤。上一致收敛可以类似证明。为此，我们进行如下估计， a()-a(川s∫A(s)A(s)+f(s≤∫A(s)a(s+f(sd≤[Lml+K]s=M(t-a) 有数学日瑞法，得路风间-A056-小 第6页共16页
第 6 页 共 16 页 则对于区间 a t b 上的任何数 0 t 及任一常数向量 1 2 n = ，方程组 (5.4) 存在唯一解 (t) ，定 义于整个区间 a t b 上，且满足初始条件 (t 0 ) = 。 思考：将该定理与第三章存在唯一性定理比较，有何不同？ 类似于第三章，我们分五步来证明。 第一步：证明 (5.4) 的定义于区间 a t b 满足初始条件 (t 0 ) = 的解等价于积分方程 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , 5.8 t t x t A s x s f s ds a t b = + + 上的连续解。证明完全类似于第三章，这里略去。 第二步：构造皮卡逐步逼近向量函数序列： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 5.9 , 1,2, t k k t t t A s s f s ds a t b k − = = + + = 对所有的正整数 k ，向量函数 k (t) 在区间 a t b 上有定义且连续。 第三步：证明向量函数序列 k (t) 在区间 a t b 上是一致收敛的。 思路：考察向量函数级数： 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 5.10 j j j t t t a t b − = + − 由于级数的部分和为： 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 k j j k j t t t t − = + − = ，所以要证明序列 k (t) 在区间 a t b 上 是一致收敛，只需证明级数 (5.10) 在 a t b 上是一致收敛的。因为 A t( ) 和 f t( ) 在区间 a t b 上是 连 续 ， 所 以 A t( ) 和 f t( ) 都 在 a t b 上有界 ， 则 存 在 常 数 L 0 和 K 0 ，使得 A t L ( ) , f t K ( ) ， a t b ，取 M L K = + ，下面只需证明序列 k (t) 在区间 0 t t b 上 一致收敛，另一区间 0 a t t 上一致收敛可以类似证明。为此，我们进行如下估计， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 0 0 0 0 t t t t t t t t A s s f s ds A s s f s ds L K ds M t t − + + + = − 利用数学归纳法，得到： ( ) ( ) ( ) 1 1 0 ! k k k k ML t t b t k − − − −
由于正项级数兰乞6-是收致银致。所以。Q,0)在区间人1≤6上一致收数。 L台k! 设m()=p(0),所以()也在区间上连续。 第四步：证明p()是积分方程(5.8)定义在区间a≤1≤b上的连续解。对(5.8)两边取极限得到： lime(t)=n+lim[4(s)o(s)+f(s)s=n+limA(s)(s)+f(s) 即：p()=7+∫[A(s)p(S)+f(s)].这就是说，p)是积分方程(5.8)定义在区间a≤1≤b上的 连续解。 第五步：证明唯一性。假设w()也是函数序列{Q:(}在区间a≤1≤b上一致收敛的极限函数 则w()=7+「[A(s)w()+f(s)门还，与第三步的证明的做法一样，进行估计 ，M A)-y05公年6-o“→0k→小.所似aO在as1sb数效于w0.根器极限的 唯一性定理，得到()）=()· S5.2线性徽分方程组的一般理论 教学目的：掌握线性徽分方程组解的结构。 线性微分方程组 x=A()x+f(0(5.1), 如果f()≠0，则(5.1山)称为非齐次线性方程，如果f()=0,则对应方程 x'=A(x(5.12) 称为齐线性方程组，通常情况下称（⑤.12）是(5.11)对应的齐次线性方程组。 5.2.1齐线性微分方程组 定理2（叠加原理）设u()和v(d)是方程(5.12)的任意解，它们的线性组合au()+Bv(d)也是(5.12) 的解，这里α和B是任意实数。 定义1：称定义在区间a≤1≤b上的向量函数x(0),(),x()是线性相关的，如果存在不全为零的 常数C,C,.,Cn,使得恒等式：Cx()+C2()+.+Cnx()=0a≤1≤b成立。否则，称函数 第7页共16页
第 7 页 共 16 页 由于正项级数 ( 0 ) 1 ! k k k M L b t L k = − 是收敛级数，所以， k (t) 在区间 0 t t b 上一致收敛。 设 lim k ( ) ( ) k t t → = ，所以 (t) 也在区间上连续。 第四步：证明 (t) 是积分方程 (5.8) 定义在区间 a t b 上的连续解。对 (5.8) 两边取极限得到： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 lim lim lim t t k k k k k k t t t A s s f s ds A s s f s ds − − → → → = + + = + + 即： ( ) ( ) ( ) ( ) 0 t t t A s s f s ds = + + . 这就是说， (t) 是积分方程 (5.8) 定义在区间 a t b 上的 连续解。 第五步：证明唯一性。假设 (t) 也是函数序列 k (t) 在区间 a t b 上一致收敛的极限函数。 则 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 t t t A s s f s ds = + + ，与第三步的证明的做法一样，进行估计 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 ! k k k ML t t b a k k + − − → → + ，所以 k (t) 在 a t b 收敛于 (t) 。根据极限的 唯一性定理，得到 (t t ) = ( ) 。 §5. 2 线性微分方程组的一般理论 教学目的：掌握线性微分方程组解的结构。 线性微分方程组 x A t x f t = + ( ) ( ) (5.11)， 如果 f t( ) 0 ，则 (5.11) 称为非齐次线性方程，如果 f t( ) = 0 ，则对应方程： x A t x = ( ) (5.12) 称为齐线性方程组，通常情况下称 (5.12) 是 (5.11) 对应的齐次线性方程组。 5．2．1 齐线性微分方程组 定理 2 （叠加原理）设 u t( ) 和 v t( ) 是方程 (5.12) 的任意解，它们的线性组合 u t v t ( ) + ( ) 也是 (5.12) 的解，这里 和 是任意实数。 定义 1：称定义在区间 a t b 上的向量函数 x t x t x t 1 2 ( ), , , ( ) n ( ) 是线性相关的，如果存在不全为零的 常数 1 2 , , , n c c c ，使得恒等式： 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 n n c x t c x t c x t a t b + + + = 成立。否则，称函数