§5因式分解定理 一、不可约多项式 x4-4=(x2-2x2+2) onQ =(x-√2(x+√2)(x2+2) on R =(x-√2(x+√2(x-V2ix+V2i)onC 定义8数域P上次数21的多项式px)称为域P上的不可约多项式 (irreducible polynomical),如果它不能表成数域P上的两个次数比p(x)的次数低 的多项式的乘积 根据定义，一次多项式总是不可约多项式 一个多项式是否可约是依赖于系数域的. 显然，不可约多项式p(x)的因式只有非零常数与它自身的非零常数倍 p(xc≠0)这两种，此外就没有了.反过米，具有这个性质的次数≥1的多项式 定是不可约的.由此可知，不可约多项式p(x)与任一多项式f(x)之间只可能有两 种关系，或者px)川fx)或者(p(x,f(x》=1. 定理5如果p(x)是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式f(x),g(x), 由p(x)1f(x)g(x)一定推出px)川f(x)或者p(x)川g(x). 推广：如果不可约多项式p(x)整除一些多项式(x),(x),∫(x)的乘积 f(x)f(x).∫(x),那么px)一定整除这些多项式之中的一个 二、因式分解定理 因式分解及唯一性定理数域P上次数≥1的多项式f(x)都可以唯一地分解 成数域P上一些不可约多项式的乘积所谓唯一性是说，如果有两个分解式 f(x)=p,(x)P2(x).p,(x)=q(x)q2(xq,(x), 那么必有s=1,并且适当排列因式的次序后有 p,(x)=cq.(x),i=1,2,5 其中c,i=1,2,.,s)是一些非零常数
§5 因式分解定理 一、不可约多项式 x x x i x i on C x x x on R x x x on Q ( 2)( 2)( 2 )( 2 ) ( 2)( 2)( 2) 4 ( 2)( 2) 2 4 2 2 = − + − + = − + + − = − + . 定 义 8 数域 P 上次数 1 的多项式 p(x) 称为域 P 上的不可约多项式 (irreducible polynomical)，如果它不能表成数域 P 上的两个次数比 p(x) 的次数低 的多项式的乘积. 根据定义，一次多项式总是不可约多项式. 一个多项式是否可约是依赖于系数域的. 显然，不可约多项式 p(x) 的因式只有非零常数与它自身的非零常数倍 cp(x)(c 0) 这两种，此外就没有了.反过来，具有这个性质的次数 1 的多项式一 定是不可约的.由此可知，不可约多项式 p(x) 与任一多项式 f (x) 之间只可能有两 种关系，或者 p(x) | f (x) 或者 ( p(x), f (x)) = 1. 定理 5 如果 p(x) 是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式 f (x), g(x)， 由 p(x) | f (x)g(x) 一定推出 p(x) | f (x) 或者 p(x) | g(x) . 推广：如果不可约多项式 p(x) 整除一些多项式 ( ), ( ), , ( ) 1 2 f x f x f x s 的乘积 ( ) ( ) ( ) 1 2 f x f x f x s ，那么 p(x) 一定整除这些多项式之中的一个. 二、因式分解定理 因式分解及唯一性定理 数域 P 上次数 1 的多项式 f (x) 都可以唯一地分解 成数域 P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 f x p x p x p x q x q x q x = s = t , 那么必有 s = t ，并且适当排列因式的次序后有 p x c q x i s i i i ( ) = ( ) , =1, 2, , . 其中 c (i 1,2 , ,s) i = 是一些非零常数
应该指出，因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性，但是它并没有给出 一个具体的分解多项式的方法实际上，对于一般的情形，普遍可行的分解多项 式的方法是不存在的 在多项式(x)的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来， 使它们成为首项系数为1的多项式，再把相同的不可约因式合并于是(x)的分 解式成为 f(x)=cp(x)P(x.p(x), 其中c是fx)的首项系数，P(xP2(x.,P,x)是不同的首项系数为1的不可 约多项式，而，.，5是正整数这种分解式称为标准分解式。 如果己经有了两个多项式的标准分解，就可以直接写出两个多项式的最大公 因式多项式fx)与g(x)的最大公因式dx)就是那些同时在fx)与g(x)的标准 分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带的方幂的指数等于它在∫(x)与 g(x)中所带的方幂中较小的一个， 由以上讨论可以看出，带余除法是一元多项式因式分解理论的基础 若fx)与g(x)的标准分解式中没有共同的不可约多项式，则f(x)与g(x)互素. 注意：上述求最大公因式的方法不能代替辗转相除法，因为在一般情况下， 没有实际分解多项式为不可约多项式的乘积的方法，即使要判断数域P上一个多 项式是否可约一般都是很困难的. 例在有理数域上分解多项式f(x)=x3+x2-2x-2为不可约多项式的乘积
应该指出，因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性，但是它并没有给出 一个具体的分解多项式的方法.实际上，对于一般的情形，普遍可行的分解多项 式的方法是不存在的. 在多项式 f (x) 的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来， 使它们成为首项系数为 1 的多项式，再把相同的不可约因式合并.于是 f (x) 的分 解式成为 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 f x cp x p x p x s r s = r r , 其中 c 是 f (x) 的首项系数， ( ), ( ), , ( ) 1 2 p x p x p x s 是不同的首项系数为 1 的不可 约多项式，而 s r ,r , ,r 1 2 是正整数.这种分解式称为标准分解式. 如果已经有了两个多项式的标准分解，就可以直接写出两个多项式的最大公 因式.多项式 f (x) 与 g(x) 的最大公因式 d (x) 就是那些同时在 f (x) 与 g(x) 的标准 分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带的方幂的指数等于它在 f (x) 与 g(x) 中所带的方幂中较小的一个. 由以上讨论可以看出，带余除法是一元多项式因式分解理论的基础. 若 f (x) 与 g(x) 的标准分解式中没有共同的不可约多项式，则 f (x) 与 g(x) 互素. 注意：上述求最大公因式的方法不能代替辗转相除法，因为在一般情况下， 没有实际分解多项式为不可约多项式的乘积的方法，即使要判断数域 P 上一个多 项式是否可约一般都是很困难的. 例 在有理数域上分解多项式 ( ) 2 2 3 2 f x = x + x − x − 为不可约多项式的乘积
§6重因式 一、重因式的定义 定义9不可约多项式px)称为多项式f(x)的k重因式，如果p(x)川f(x),但 p(x)I f(x) 如果k=0,那么px)根本不是fx)的因式：如果k=1,那么p(x)称为fx) 的单因式：如果k>1,那么p(x)称为f(x)的重因式. 注意.k重因式和重因式是两个不同的概念，不要混淆。 显然，如果∫(x)的标准分解式为 f(x)=cp"(x)p(x).(x), 那么P,(x,P(x,.,p,(x)分别是fx)的r重，2重，.5，重因式指数5=1的 那些不可约因式是单因式；指数，>1的那些不可约因式是重因式 不可约多项式p(x)是多项式f(x)的k重因式的充要条件是存在多项式g(x), 使得fx)=p(x)g(x),且px)1gx) 二、重因式的判别 设有多项式 fx)=a+a-+.+ax+a, 规定它的微商（也称导数或一阶导数）是 f(x)=a+a(n-1)x"2+.+a. 通过直接验证，可以得出关于多项式微商的基本公式： (f(x)+g(x)Y=f"(x)+g'(x), (cf(x))'=cf"'(x) (f(x)g(x))'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x). ("(x))=m(x)f(x)) 同样可以定义高阶微商的概念微商∫'(x)称为f(x)的一阶微商：∫"(x)的微商 ∫"(x)称为fx)的二阶微商：等等.f(x)的k阶微商记为∫(x)
§6 重因式 一、重因式的定义 定义 9 不可约多项式 p(x) 称为多项式 f (x) 的 k 重因式,如果 p (x) | f (x) k ,但 ( ) | ( ) 1 p x f x k + . 如果 k = 0 ，那么 p(x) 根本不是 f (x) 的因式；如果 k =1 ，那么 p(x) 称为 f (x) 的单因式；如果 k 1 ，那么 p(x) 称为 f (x) 的重因式. 注意. k 重因式和重因式是两个不同的概念,不要混淆. 显然，如果 f (x) 的标准分解式为 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 f x cp x p x p x s r s = r r , 那么 ( ), ( ), , ( ) 1 2 p x p x p x s 分别是 f (x) 的 1 r 重， 2 r 重，. , s r 重因式.指数 ri =1 的 那些不可约因式是单因式；指数 ri 1 的那些不可约因式是重因式. 不可约多项式 p(x) 是多项式 f (x) 的 k 重因式的充要条件是存在多项式 g(x) , 使得 f (x) p (x)g(x) k = ,且 p(x) | g(x). 二、重因式的判别 设有多项式 1 0 1 1 f (x) a x a x a x a n n n = n + + + + − − , 规定它的微商（也称导数或一阶导数）是 1 2 1 1 f (x) a nx a (n 1)x a n n n = n + − + + − − − . 通过直接验证,可以得出关于多项式微商的基本公式: ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ( ( ) ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ), f x g x f x g x f x g x cf x cf x f x g x f x g x = + = + = + ） ( ( )) ( ( ) ( )) 1 f x m f x f x m m = − 同样可以定义高阶微商的概念.微商 f (x) 称为 f (x) 的一阶微商； f (x) 的微商 f (x) 称为 f (x) 的二阶微商；等等. f (x) 的 k 阶微商记为 ( ) ( ) f x k
一个n≥)次多项式的微商是一个m-1次多项式：它的n阶微商是一个常 数：它的n+1阶微商等于0. 定理6如果不可约多项式px)是多项式f(x)的一个k(k≥1)重因式，那么 p(x)是微商f(x的k-1重因式 分析：要证p(x)是微商f'(x)的k-1重因式，须证p~(x)川(x),但 p(x)1f"(x). 注意：定理6的逆定理不成立如 fx)=x3-3x2+3x+3,f"(x)=3x2-6x+3=3x-1)2, x-1是f'(x)的2重因式，但根本不是f(x)是因式当然更不是三重因式. 推论1如果不可约多项式px)是多项式f(x)的一个k(k≥1)重因式那么 p(x)是f(x),f"(x),.,-(x)的因式，但不是f(x)的因式 推论2不可约多项式p(x)是多项式f(x)的重因式的充要条件是p(x)是 fx)与∫'x)的公因式 推论3多项式fx)没有重因式台(fx,∫"(x》=1 这个推论表明，判别一个多项式有无重因式可以通过代数运算一一辗转相除 法来解决，这个方法甚至是机械的由于多项式的导数以及两个多项式互素与否 的事实在由数域P过渡到含P的数域P时都无改变，所以由定理6有以下结论： 若多项式∫x)在PLx]中没有重因式，那么把f(x)看成含P的某一数域P上 的多项式时，f(x)也没有重因式 例1判断多项式 f(x)=x-5x3+9x2-7x+2 有无重因式 三、去掉重因式的方法 设f(x)有重因式，其标准分解式为
一个 n(n 1) 次多项式的微商是一个 n −1 次多项式；它的 n 阶微商是一个常 数；它的 n +1 阶微商等于 0. 定理 6 如果不可约多项式 p(x) 是多项式 f (x) 的一个 k(k 1) 重因式,那么 p(x) 是微商 f (x) 的 k −1 重因式. 分 析 : 要 证 p(x) 是微商 f (x) 的 k −1 重 因 式 , 须 证 ( ) | ( ) 1 p x f x k − , 但 p (x) | f (x) k . 注意:定理 6 的逆定理不成立.如 ( ) 3 3 3 3 2 f x = x − x + x + , 2 2 f (x) = 3x − 6x + 3 = 3(x −1) , x −1 是 f (x) 的 2 重因式,但根本不是 f (x) 是因式.当然更不是三重因式. 推论 1 如果不可约多项式 p(x) 是多项式 f (x) 的一个 k(k 1) 重因式,那么 p(x) 是 f (x) ， f (x) ,., ( ) ( 1) f x k− 的因式,但不是 ( ) ( ) f x k 的因式. 推论 2 不可约多项式 p(x) 是多项式 f (x) 的重因式的充要条件是 p(x) 是 f (x) 与 f (x) 的公因式. 推论 3 多项式 f (x) 没有重因式 ( f (x), f (x)) = 1 这个推论表明，判别一个多项式有无重因式可以通过代数运算——辗转相除 法来解决，这个方法甚至是机械的.由于多项式的导数以及两个多项式互素与否 的事实在由数域 P 过渡到含 P 的数域 P 时都无改变,所以由定理 6 有以下结论: 若多项式 f (x) 在 P[x] 中没有重因式,那么把 f (x) 看成含 P 的某一数域 P 上 的多项式时, f (x) 也没有重因式. 例 1 判断多项式 ( ) 5 9 7 2 4 3 2 f x = x − x + x − x + 有无重因式 三、去掉重因式的方法 设 f (x) 有重因式,其标准分解式为
f(x)=Cp(x)”P2(x)P.P,(x) 那么由定理5 f'(x)=p,(x)n-p2(x)-1.P,(x)-g(x), 此处g(x)不能被任何p,(xi=1,2,.,S)整除.于是 fxf'(x》=dx)=p(x)-p2(x)-.p,(x)- 用d(x)去除f(x)所得的商为 h(x)=cp(x)p2(x).P.(x) 这样得到一个没有重因式的多项式(x).且若不计重数，Mx)与∫(x)含有完全相 同的不可约因式把由f(x)找x)的方法叫做去掉重因式方法 例2求多项式 fx)=x6-4x3-10x+20x3+65x2+56r+16 的标准分解式
rs s r r f (x) cp (x) p (x) p (x) 1 2 = 1 2 . 那么由定理 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1 1 2 1 1 1 2 f x p x p x p x g x s r s r − r − − = 此处 g(x) 不能被任何 p (x)(i 1,2, ,s) i = 整除.于是 1 1 2 1 1 ( ( ), ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) 1− 2 − − = = s r s r r f x f x d x p x p x p x 用 d (x) 去除 f (x) 所得的商为 ( ) ( ) ( ) ( ) h x = cp1 x p2 x ps x 这样得到一个没有重因式的多项式 h(x) .且若不计重数, h(x) 与 f (x) 含有完全相 同的不可约因式.把由 f (x) 找 h(x) 的方法叫做去掉重因式方法. 例 2 求多项式 ( ) 4 10 20 65 56 16 6 5 4 3 2 f x = x − x − x + x + x + x + 的标准分解式