命题1.1向量组a1,a2,…,可由,2,,线性表示当 且仅当有t×s矩阵A,使得(a,a2,…,a3)=(31,B2,…,)A 此时的第例元素恰为表示成,,…,B的线性组合时的 系数. 证明:若向量组a1,a,…,a3可由月,2,…,线性表示,即每个a 均可由角,B2,…,线性表示,则有 11 a21 a1=a11+a22+…+anB1=(31,A2,…,B) a a1s as=as1+as2+…+as1=(,2,…,B) ts 国园國[回
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1.1 , , , , , , , , , ) ( , , , ) ; , , , s t s t j t A A A j α α α β β β α α α β β β α β β β × = … … … … … 命题 向量组 可由 线性表示当 且仅当有t s矩阵 ，使得( 此时 的第 列元素恰为 表示成 的线性组合时的 系数. 1 2 1 2 1 2 , , , , , , , , , s i t t a a a β β β a β β β … … … 证明：若向量组 可由 线性表示，即每个 均可由 线性表示，则有 11 21 1 11 1 21 2 1 1 2 1 ( , , , ) , t t t t a a a a a a α β = + β + + β = β β β ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ " " # """""" 1 2 1 1 2 2 1 2 ( , , , ) , s s s s s ts t t ts a a a a a a α β β β β β β ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ = + + + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ " " #
从而由矩阵的乘法可知 a a a21 a1 )=(31,B2,…,B a t1 a 第1列第s列 命题成立 国园國[回
从而由矩阵的乘法可知: 11 1 21 1 1 2 1 2 1 ( , , , ) ( , , , ) . s s s t t t s a a a a a a α α α β β β ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ " " " … # # " 第1列 第s列 命题成立
命题12(线性表示的传递性)设有三个有限向量组 U、V和W.若U可由V线性表示,V可由W表示,则U可由 W表示 线性表示 W U 平下面引入线性相关与线性无关的概念 定义1.1设a1,Q2,…,a3是一组向量,若有一组不全为 零的数q,C2,…,C使得 C1a1+a2a2+…+csas=0 则称a,a2,,a3线性相关,否则称它们线性无关 上页下 圆回
命题1.2 (线性表示的传递性) 设有三个有限向量组: U、V和W. 若U 可由V线性表示, V可由W表示, 则U可由 W表示. W U V 线性表示 下面引入线性相关与线性无关的概念． 1 2 1 2 1.1 , , , , , , s c c cs α α … α … 定义 设 是一组向量，若有一组不全为 零的数 使得 1 1 2 2 0, c c α α + + " + cs s α = 1 2 , , , 则称α α … αs线性相关，否则称它们线性无关