定理18:设V是n维线性空间,W是 m维子空间,则dimV/W=n-m 证:设a1…,以n是W的一组基,扩充为V 的基,a1,…,am,Bn1,…,βn若 km+1(Bn+1+W)+km+2(Bn+2+W)+ +…+kn(n+W)=0+W, (hmBm41+km2Bm42+.+k,B,)+w=0+W, n2+1/m+1 m+2/m+2 +…+knBn∈W, 设kn+1Bn+km+2Bn+2+…+k,Bn l1a1+l2a2+…+lnan 6
6 dim / . 18 m V W n m V n W V 维子空间，则 = − 定理 ：设 是 维线性空间， 是 的 的基， 若 证 设 是 的一组基，扩充为 , , , , , . : , , 1 1 1 m m n m W V + ( ) 0 , ( ) ( ) 1 1 2 2 k W W k W k W n n m m m m + + + = + + + + + + + + + , ( ) 0 , 1 1 2 2 1 1 2 2 k k k W k k k W W m m m m n n m m m m n n + + + + + + + = + + + + + + + + + m m m m m m n n l l l k k k = + + + + + + + + + + 1 1 2 2 设 1 1 2 2
即有1a1+l2a2+…+ km++ m+2/m+2 kn=o, m+1 m+2 k=0 Bn+1+W,Bn+2+W,…,Bn+W线性无关 又设y+W∈V/W,由于y∈ y=x01+…+ rd+yn+1Bmn++…+ynB ∈ m+1/m+1 +…+yn/n)+W 故y+W=(ymn1Bn+1+…+ynBn)+W
7 0, 2 2 1 1 2 2 1 1 − − − = + + + − + + + + m m n n m m m m k k l l l k 即有 m m m m n n x x y y W V W V = + + + + + + 1 1 +1 +1 又设 / , 由于 , W W W线性无关。 k k k m m n m m n + + + = = = = + + + + , , , 0. 1 2 1 2 ( ) . ( ) . 1 1 1 1 W y y W y y W m m n n m m n n + = + + + + + + + + + + 故