3.古典时期的几大学派 a1 i 有欠缺之处，有些结论也有争议.不过基本事实是清楚的. 3.古典时期的几大学派 古典时期数学成就的精华是uclid的a原本》和Apo]lonius 的&k圆锥曲线》(Conic Sections).为领略这些著作，须对当时数学 的本质所产生的巨大变革以及希腊人所面临的和所解决的问题有 所了解。此外，从这些精心撰述的著作中，我们看不出前此三百年 间数学上的创造性工作，或此后数学史上关系重大的一些问题. 古典希腊数学是在先后相继的几个中心地点发展起来的，每 处都在前人工作的基础生进行添筑.在每个中心地点，·总有无正 式组织的成群学者在一两个伟大学者领导下开展活动.这类组织 在现代也是习见的，它之所以存在也是可以理解的.今日，当一位 大学者住在某一处一—一通常是个大学—一时，其他学者就接踵而 去，向大师学习. 第一个学派是爱奥尼亚学派，是米利都地方的hales(公元 前640左右到546左右)创立的.我们并不知道Thales授徒讲业的 全部情况，但肯定知道哲学家Anaximander(约公元前610~547) 和Anaximenes(约公元前550~480)是他的学生，Anaxagoras (约公元前00~428)是属于这学派的，Pythagoras(约公元前 585~500)据信也是跟Thales学过数学的.其后Pythagoras在 意大利南部形成他自己的学派.在公元前六世纪末之际，爱奥尼 亚地区科罗丰(Colophon)城的Xenophanes迁居到西西里，在那 里建立一个中心，属于这学派中的人有哲学家Parmenides(公元 前五世纪)和Zeno(公元前五世纪).这两人住在意大利南部厄 里亚(Elea),学派也随之迁到那里，因此这群学者就叫厄里亚学 派.自公元前五世纪下半叶起进行学术活动的巧辩学派(Sophist9) 则主要集中在雅典.最出名的学派是Plato在雅典的学院派
132 第3章古典希腊数学的产生 (Academy),Aristotle就是那里的一个学生.学院派在希腊思想 史上有无与伦比的重要性.它的学生和学友是当时最大的哲学 家、数学家和天文学家：甚至在数学方面的领导地位转移到亚历山 大里亚之后，这一学派仍在哲学上保持其领先的地位.Eūdoxus的 数学知识主要是从西西里太兰吐姆(Tarentum)地方的Arcbytas 学来的，之后他在小亚细亚北部的城市息稷卡斯(Cyzict如s)成立了 他自己的学派.Aristotle离开Plato的学院之后在雅典成立另 一学派-吕园学派(Lyceum).吕园学派通常称为漫步学派 (Peripatetic school).并不是古典时期的所有大数学家必定都属 于某一学派，不过为叙述连贯起见，我们有时把某人的著作同某一 学派结合起来讨论，虽然那人同该学派的联系并不密切. 4。澄奥尼亚学派 这学派的领袖和创立人是hales.关于此人的生平和学术工 作虽然没有确切可靠的材料，但他可能就是生长和工作于米利都 的人.他游迹甚广，曾一度住在埃及进行商务活动，并据说学了不 少埃及的数学.传说hales还是一个精明的商人.在一次油橄 榄大丰收的季节，他垄断了米利都和开奥斯(Chios)两地的所有油 坊之后以高价出租.据说Chales预报了公元前585年的一次日 蚀，但因当时天文知识没有那么高明，所以有人否认此说. 据传他曾用一根已知长度的杆子，通过同时测量竿影和金字 塔影之长，求出了金字塔的高度.据信他利用关于相似三角形的 这一类知识计算过船舶到海岸的距离.后人也把数学之成为抽象 理论和有些定理的演绎证明归功于他，但这两项功劳是否属实是 可疑的.后人也把磁铁和静电吸引力的发现归功于他. 就对于数学本身的贡献来说，爱奥尼亚学派只值得稍加提及， 不过它在哲学特别是自然哲学方面的重要性是无与伦比的（见第
5.Pythagoras派 33 7章第2节).在波斯人征服这地区之后，爱奥尼亚学派的重要地 位就下落了. 5.Pythagoras派 Pythagoras据信是曾就学于Thales的.他继而拾起学术事 业的火炬，在意大利南部的希腊居留地克洛吞(Croto加)成立了 他自己的学派.Pythagoras派学者没有书面著作，我们是通过 他人如Plato和Herodotus的著作知悉他们的.特别是我们对 Pythagoras及其门徒的生平不清楚，也不能肯定一些发现该归 功于Pythagoras本人还是应归功于他的门人.因此，在谈到 Pythagoras的工作时，实际是指这批学者在公元前85年（所传 Pythagoras出生之年)到公元前400年左右这一段时间里所做的 工作.Philolaus(公元前五世纪)和Arohytas(公元前428~347 年)是这个学派中的杰出成员. Pythagoras生于靠近小亚细亚海岸的萨摩岛(Samo9).他在 米利都Thales那里学了一段时期之后就到别处游历，其中有埃及 和巴比伦，·并可能在那里学到一些数学和神秘主义的教条.然后 他卜居于克洛吞.在那里他成立了一个宗教、科学和哲学性质的 帮会.这是个正式的学派组织，会员人数是限定的，并由领导人传 授知识，会员对学派中所传授的知识要保密，不过有些史学家否定 数学和物理知识保密的说法.据信Pythagoras派的人参与政治 活动；他们同贵族党派结盟，因而被民主党派赶走.Pythagoras逃 奔到邻近的米太旁登(Mietapontum),公元前497年被害于该处. 他的门人散居到希腊其他学术中心，继续传授他的教导. 希腊人对数学看法本身的一个重大贡献是有意识地承认并强 调：数学上的东西如数和图形是思维的抽象，同实际事物或实际形 象是截然不同的.有些原始文明社会（埃及和巴比伦人肯定如此）
134 第3章古典希腊数学的产生 诚然也知道把数脱离实物来思考，但他们对这种思考的抽象性质 究竟自觉认识到何种程度是颇成问题的.而且在希腊人之前的所 有文明中，几何思想肯定是离不开实物的.例如，埃及人的直线就 无非是拉紧的绳或田地的一边，而矩形则是田地的边界】 数学研究抽象概念，这种认识肯定要归功于Pythagoras学 派.不过在他们开始进行工作时情况可能并不如此.Aristotle曾 说，Pythagoras学派把数看作是真实物质对象的终极组成部分. 数不能离开感觉到的对象而独立存在.早期Pythagoras学派说 到一切对象由（整）数组成，或者说到数乃宇宙的要素时，他们所要 说的意思就是字面上的意思，因他们心目中的数就如同我们心目 中的原子一样.也有人相信，公元前六世纪和五世纪的Pythagoras 学派实际上并不把数和几何上的点区分开来.因此他们从几何角 度把一个数看作是扩大了的一个点或很小的一个球.但据Proclus 的记载，Eudemus说Pythagoras认识到较高（比之于埃及人和巴 比伦人)的原理，并且纯凭心智来考虑抽象问题.udemus还说 Pythagoras创立了纯数学，把它变成一门高尚的艺术， Pythagoras学派常把数描绘成沙滩上的点子或小石子.他们 按点子或小石子所能排列而成的形状来把数进行分类.例如，1， 3,6和10这些数叫三角形数，因为相应的点子能排列成正三角形 (图3.1). 第四个三角形数10特别使Pythagoras学派神往，因 为这是他们所珍爱的数，并且这三角形的每边有4点，而4又是另 一个得宠的数.他们认识到1,1+2,1+2+3等等这些和数都是 三角形数，并且知道1+2+…+m-(m/2)(%+1). 图3.1 (1)《形而上学(Metaphy9.)卷I,986a及986a21,Ioeb经典图书版
5.Pythagoras派 351 1,4,9,16,…这些数他们称之为正方形数，因为用点表示时 可把它们排成正方形（图3.2）.复合数（非质数）中凡不恰好是正 方形数的，则叫做长方形数， 。。。● 图3.2 把代表数的点子排成儿何图形后，整数的一些性质就变得很 明显.例如在图3.2的第三个图形中画了一道斜杠之后，便可看 出相继两个三角形数之和是个正方形数.这个关系是普遍成立 的，因若用现代记法，我们可以看出 罗(m+1)+1(m+2)=(0+1)9. 2 至于说Pythagoras学派能够证明这个一般结论，那却是成问题 的 Pythagoras派再用图3.3所示的方案从一个正方形数得出 下一个正方形数.图中折线右方和下方的那些点所形成的数，他 们称作一个gnomon.他们从这图里所看出的事实，若用记号表 示出来就是n2+(2m+1)=(%+1)2.其次，若从1起加上gnomon 3,再加上gnomon5等等，其结果用我们的记号来表示便是 1+3+5+…+(2m-1)=n2. “gnomon"这个字在巴比伦人的原意可能是指日规上的直杆， 用它的阴影来指示时刻.在Pythagoras时代gnomon指木匠用 淡 图3.3 图3,4有阴影的那块面积称为gnomon