北京大学：《数学物理方法》精品课程电子教案（A类）第二部分 数学物理方程_第5讲 分离变量法（四）

圆形区域中的稳定问题 分析 第一,在数学上,原来定解问题的微分方程在圆 内处处成立;然而变换到平面极坐标后,方程在 区间的端点φ=0和=2π并不成立 严格说,在平面极坐标中,自变量φ的变化范围 是0,2,因为u(7,在端点=0和=2丌处 的偏导数没有定义,充其量最多也只能定 义u(r,⑨)在两个端点处的单侧偏导数

Dirichlet Problem of Laplace Eqn in Circular Region Helmholtz Eqn in Orthogonal Curvilinear . . . Well-posed Problem in Circular Region Solutions of Well-posed Problem in Circular Region /«¥­½¯K ©Û 1§3êÆþ§5½)¯K‡©§3 S??¤á¶, C†²¡4‹I￾§§3 «mà: φ = 0Úφ = 2π¿Ø¤á î‚`§3²¡4‹I¥§gCþφCz‰Œ ´[0, 2π]©Ï u(r, φ)3à:φ = 0Úφ = 2π?     ê v k ½  § ¿ Ù þ  õ   U ½ Âu(r, φ)3ü‡à:?üý ê C. S. Wu 1Êù ©lCþ{(o)

圆形区域中的稳定问题 分析 =0和=2丌这两个端点纯粹是由于采用平面 极坐标系描写圆形而出现的,并非原始问题的几 何边界

Dirichlet Problem of Laplace Eqn in Circular Region Helmholtz Eqn in Orthogonal Curvilinear . . . Well-posed Problem in Circular Region Solutions of Well-posed Problem in Circular Region /«¥­½¯K ©Û φ = 0Úφ = 2πùü‡à:X{´duæ^²¡ 4‹IX£/ Ñy§¿š©¯KA Û>. C. S. Wu 1Êù ©lCþ{(o)

圆形区域中的稳定问题 分析 φ=0和φ=2π这两个端点纯粹是由于采用平面 极坐标系描写圆形而出现的,并非原始问题的几 何边界,在原始的定解问题中,就谈不上要指定 相应的边界条件

Dirichlet Problem of Laplace Eqn in Circular Region Helmholtz Eqn in Orthogonal Curvilinear . . . Well-posed Problem in Circular Region Solutions of Well-posed Problem in Circular Region /«¥­½¯K ©Û φ = 0Úφ = 2πùü‡à:X{´duæ^²¡ 4‹IX£/ Ñy§¿š©¯KA Û>.§ 3©½)¯K¥§Ò!Øþ‡½ ƒA>.^‡ C. S. Wu 1Êù ©lCþ{(o)

圆形区域中的稳定问题 分析 φ=0和φ=2π这两个端点纯粹是由于采用平面 极坐标系描写圆形而出现的,并非真正的几何边 界,在原始的定解问题中,就谈不上要指定相应 的边界条件.这样就导致转换到平面极坐标后」 缺少u(r,)在=0和p=2丌处所应当满足的边界 条件

Dirichlet Problem of Laplace Eqn in Circular Region Helmholtz Eqn in Orthogonal Curvilinear . . . Well-posed Problem in Circular Region Solutions of Well-posed Problem in Circular Region /«¥­½¯K ©Û φ = 0Úφ = 2πùü‡à:X{´duæ^²¡ 4‹IX£/ Ñy§¿šýAÛ> .§ 3©½)¯K¥§Ò!Øþ‡½ƒA >.^‡© ùÒ=†²¡4‹I￾§ "u(r, φ)3φ = 0Úφ = 2π?¤A÷v>. ^‡ C. S. Wu 1Êù ©lCþ{(o)

圆形区域中的稳定问题 分析 考虑到平面极坐标系的特点,(,φ=0)和(r,p 2m)是平面上的同一点,所以,作为完整的定解 问题,应当补充上周期条件 (r,o)|=0=(x,) du(r,o ou(r, o)

Dirichlet Problem of Laplace Eqn in Circular Region Helmholtz Eqn in Orthogonal Curvilinear . . . Well-posed Problem in Circular Region Solutions of Well-posed Problem in Circular Region /«¥­½¯K ©Û IJ¡4‹IXA:§(r, φ = 0)Ú(r, φ = 2π)´²¡þÓ:§¤±§ Š½) ¯K§AÖ¿þ±Ï^‡ u(r, φ)   φ=0 = u(r, φ)   φ=2π ∂u(r, φ) ∂φ    φ=0 = ∂u(r, φ) ∂φ    φ=2π C. S. Wu 1Êù ©lCþ{(o)