4引言何谓微积分 微积分:以变量为研究对象,以极限方法为基本研究对 象的教学学科 初等数学向微积分的发展:自然界中有很多量仅靠有限 次的基本算术运算是无法计算出来(或确定下来)的,而 必须分析一个变化过程的变化趋势才能求出来(或确定 下来) 下
引言 何谓微积分 微积分：以变量为研究对象，以极限方法为基本研究对 象的教学学科． 初等数学向微积分的发展：自然界中有很多量仅靠有限 次的基本算术运算是无法计算出来(或确定下来)的，而 必须分析一个变化过程的变化趋势才能求出来(或确定 下来)．
典型问题一曲边图形的面积计算 极限概念的起源可追溯到2500年前的古希腊.那时的 希腊人为计算由曲线围成的平面图形而引用了极限的思 想.而阿基米德是杰出代表 我们以阿基米德曾经计算过的 一个问题来说明这种方法 如图,曲线=x,与x轴、直 线x1围成平面图形,求此曲 边三角形的面积 下
典型问题一 曲边图形的面积计算 极限概念的起源可追溯到2500年前的古希腊．那时的 希腊人为计算由曲线围成的平面图形而引用了极限的思 想．而阿基米德是杰出代表． 我们以阿基米德曾经计算过的 一个问题来说明这种方法． y=x2 y x 1 o 如图，曲线y=x2, 与x轴、直 线x=1围成平面图形，求此曲 边三角形的面积． 1 2 n 1 n n n−
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在区间[0, 1]中插入 n-1个分点 小区间的高 度为 ，从而小矩形的面积之和为 1 2 1 , , , , n n n n − " 2 i n ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 3 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 6 1 1 1 1 2 , 6 n n S n n n n n n n n n n n n n n ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ − ⎞ = + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = + ⎡ ⎤ + − ⎣ ⎦ − − = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ " " y =x 2 y x 1 o 1 2 n 1 n n n −
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当 n →∞时，从几何上看，矩形将填满(“穷竭”)曲边三 角形，从代数上看， ，因此认为曲边三角形的 面积 1 6 n S → 1 li m . 6 n n S S →∞ = =
割圆术: “割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割, 则与圆周合体而无所失矣” 刘徽 我国魏晋时代的数学家刘徽 用圆的内接正多边形来逼近圆 的方法割圆术,来计算圆 周率π的值 下
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割， 则与圆周合体而无所失矣” 割圆术： ——刘徽 我国魏晋时代的数学家刘徽 用圆的内接正多边形来逼近圆 的方法——割圆术，来计算圆 周率π的值．