22 32 52 2A s0.2H 10w (t=0) 解：由图可知，1>0时，电感支路被短路，故有，(0)=i(0)=0,这是一个求零状态响应问题。 当1→∞时，电感看作短路，电路如题解7-11图所示。 29 350 10 tiz(oo) 应用叠加定理可求得i,(∞)为 10 2x2 i四)=2+3+5*2+3+514A 从电感两端想电路看去的等效电阻为R,=2+3+5=10Ω 则时间常数t反10509 L0.21 故1>0后的电感电流为，)=，(oX1-e)=141-e0)A 电感电压，=L告=14e”V 10V电压源中的电流i为 i=i,-2=-0.6-1.4e0wA 电压源发出的功率为 P=10xi=-6-14e50W 即，电压源实际为吸收功率 712 图示电路中开关闭合前电容无初始储能，1=0时开关S闭合，求1≥0时的电容电压“()
解：由图可知，t > 0 时，电感支路被短路，故有 i L (0+ ) = i L (0 ) = 0 ，这是一个求零状态响应问题。 当 t → 时，电感看作短路，电路如题解 7-11 图所示。 应用叠加定理可求得 () L i 为 1.4 A 2 3 5 2 2 2 3 5 10 ( ) = + + + + + i L = 从电感两端想电路看去的等效电阻为 R0 = 2 + 3+ 5 =10 则时间常数 s 50 1 10 0.2 0 = = = R L 故 t > 0 后的电感电流为 ( ) ( )(1 ) 1.4(1 ) A 50t t L L i t i e e = = 电感电压 14 V d d L 50t L e t i u L = = 10V 电压源中的电流 i 为 2 0.6 1.4 A 50t L i i e = = 电压源发出的功率为 P =10i = 6 14e 50t W 即，电压源实际为吸收功率。 7-12 图示电路中开关闭合前电容无初始储能，t = 0 时开关 S 闭合，求 t 0 时的电容电压 u (t) C
429 (-0) 10 471 3c ①2w 解：由题意知M(0.)=4(0)=0,这是一个求零状态响应问题。当1→∞时电容看 作开路，电路如题解7-12图所示。 12 uc(c) 2v令 由于电流1=0，所以受控电流源的电流为零，故有 4c(o)=2V 求a,b断口的等效电阻。由于有受控源，故用开路短路法求。把a,b端子短路，有 2i,+(4,+1)×1+2=0 解得短路电流 如=4-名A 则等效电阻 R=回-号-7 Isc 故时间常数 T=RC=7×3×106=21x106s 所以1>0后，电容电压4e0=,(oX1-e)=20-e票) 7-15 图示电路中()=√2×220cos(3141+30)V,0时合上开关S。求：(1)c (2)U,为何值时，瞬态分量为零
解：由题意知 uC (0+ ) = uC (0 ) = 0 ，这是一个求零状态响应问题。当 t → 时电容看 作开路，电路如题解 7-12 图所示。 由于电流 i 1 = 0 ，所以受控电流源的电流为零，故有 uC () = 2 V 求 a，b 断口的等效电阻。由于有受控源，故用开路短路法求。把 a，b 端子短路，有 2i 1 +(4i 1 +i 1 )1+ 2 = 0 解得短路电流 i SC i A 7 2 = 1 = 则等效电阻 = = = 7 7 2 ( ) 2 0 SC C i u R 故时间常数 R C s 6 6 0 7 3 10 21 10 = = = 所以 t > 0 后，电容电压 ( ) ( )(1 ) 2(1 ) 21 106 t t C C u t u e e = = 7-15 图示电路中 e(t) = 2 220cos(314t + 30) V，t=0 时合上开关 S 。求：（1） C u （2） U0 为何值时，瞬态分量为零
2002 100 e)① 题6-14图 解：由题意可知，电容电压的初始值为 4c(0,)=4c(0.)=Uo (1)t〉0时，由L得电路的微分方程为 c告=40 其通解为 uc =uc+u'c 。为对应方程的通解，即 Wc-Kei-Ke 把r=RC=200×100×106=0.02s代入上式中，有Wc=Ke0 ”为非齐次线性方程的解，设'"c=Ucos(ot+)并代入微分方程中，有 U cos(@1+0)-@RCU sin(@t+0)=2x220cos(314t+30) 用待定系数法确定U.和B。引入tanp=oCR,有 RC 1 s血p=+(eCR sCR) 再令☑=V1+(oRC)2则上面等式变为 U.[cos(1+0)-@RC sin+=UZcos(1+0)cos-sin t+0)sin] =UZ cos(@1+0+) 于是，得U☑cos(o1+0+p)=V2×220×cos3141+30) 比较等式两边可求得各待定系数为
解：由题意可知，电容电压的初始值为 0 uC (0+ ) = uC (0 ) = U （1） t > 0 时，由 KVL 得电路的微分方程为 ( ) d d e t t u RC C = 其通解为 uC u C u C = ' + '' u C ' 为对应方程的通解，即 RC t t u C Ke Ke = = ' 把 RC 200 100 10 0.02 s 6 = = = 代入上式中，有 t u C Ke 50 ' = u'' 为非齐次线性方程的解，设 u'' = U cos( t +) C m 并代入微分方程中，有 U cos( t + ) RCU sin( t + ) = 2 220cos(314t + 30) m m 用待定系数法确定 Um 和 。引入 tan = CR ，有 2 1 ( ) sin CR RC + = 2 1 ( ) 1 cos CR + = 再令 2 Z = 1+ ( RC) 则上面等式变为 cos( ) cos( ) sin( ) cos( ) cos sin( )sin = + + + + = + + U Z t U t RC t U Z t t m m m 于是，得 U Z cos( t + + ) = 2 220cos(314t + 30) m 比较等式两边可求得各待定系数为
√5×220 U.= 2×220 1+Ro石i+20x314x00*10-3465v 0=314 rad/s 0=30°-arctan(RC)=30°-80.95°=-50.95 所以，特解d"。=34.6√2cos(314-50.95)V 方程的通解为4e()=lc+d'c=Ke0+34.62c0s(314-50.95) 代入初始条件(0，)=U。,得常数 K=U。-34.6V2c0-50.95)=U。-30.825 因而电压4c为4e(0=(U。-30.825)ew+34.6√2c0s3141-50.959) (2)由u()可知，当U。=30.825V时 4e)=34.6W2cos3141-50.95) 无暂态分量。 注：一阶丰齐次微分方程当灯=40的解由两部分组成，即=+：人=” （在一阶电路中，P=-攻P=一为微分方程相应的次方的道解， L 方，为满足齐次方程的特解，它具有与激励)相同的函数形式，当激励为直流时，f为 常数。电路中常见的激励函数形式及其相应的特解列于下表中。 不同激励时动态电路的特解 激励e) 特解∫的形式 直流 K K,1+Kn-+.+K Ke"当a不是特征值时 K,te"+Kte当a为特征值时 e K,te"+K,te+Koe"当a为二重根时 cosot K cosot+K2 sin @t
34.6 2 V 1 (200 314 100 10 ) 2 220 1 ( ) 2 220 6 2 = + = + = C R Um = 314 rad /s = 30 arctan( RC) = 30 80.95 = 50.95 所以，特解 u'' C = 34.6 2 cos(314t 50.95) V 方程的通解为 ( ) ' '' 34.6 2 cos(314 50.95 ) 50 = + = + u t u u Ke t t C C C 代入初始条件 0 uC (0+ ) = U ，得常数 K =U0 34.6 2 cos(50.95) =U0 30.825 因而电压 C u 为 ( ) ( 30.825) 34.6 2 cos(314 50.95 ) 50 0 = + u t U e t t C （2） 由 u (t) C 可知，当 U0 = 30.825 V 时 u (t) = 34.6 2 cos(314t 50.95) C 无暂态分量。 注：一阶非齐次微分方程 ( ) d d bf e t t f a + = 的解由两部分组成，即 1 2 f = f + f ， pt f = Ke 1 （在一阶电路中， RC p 1 1 = = 或 L R p = = 1 ）为微分方程相应的齐次方程的通解， 2 f 为满足齐次方程的特解，它具有与激励 e(t) 相同的函数形式，当激励为直流时， 2 f 为 常数。电路中常见的激励函数形式及其相应的特解列于下表中。 不同激励时动态电路的特解 激励 e(t) 特解 2 f 的形式 直流 K n t 0 1 K t K 1 t K n n n n + + + at e at Ke 当 a 不是特征值时 at at K te K te 1 + 0 当 a 为特征值时 at at at K t e K te K e 1 0 2 2 + + 当 a 为二重根时 cos t K cos t K sin t 1 + 2