《电路》课程教学资源（A）习题解答_第8章 相量法

第8章相量法 8-1 将下列复数化为极坐标形式： (1)E=-5-j5;(2)F=-4+j3:(3)F=20+j40 (4)F=j10:(5)F=-3:(6)F=2.78-j9.20。 解：(1)F=-5-j5=a∠0 a=V(-5)2+(-5)2=5√2 0=arctan-3-135(因F在第三象限) -5 故E的极坐标形式为E=5√2∠-135 (2)F,=-4+j3=V(-4)2+32∠arctan(3/-4)=5∠143.13°(F,在第二象限) (3)F=20+j40=V202+402∠arctan(40/20)=44.72∠63.43 (4)F=10j=10∠90 (5)F,=-3=3∠480 (6)F。=2.78-j9.20=√2.782+9.202∠arctan(-9.20/2.78)=9.61∠-73.19° 注：一个复数可以用代数型表示，也可以用极坐标型或指数型表示，即 F=a,+ja2=a∠0=ae,它们相互转换的关系为： a=va+a 0=arctand 和 a=acos a =asin 需要指出的，在转换过程中要注意F在复平面上所在的象限，它关系到0的取值及实部a,和 虚部a,的正负。 8-2 将下列复数化为代数形式： (1)F=10∠-73°：(2)F2=15∠112.6：(3)F=1.2∠152°：

第 8 章 相量法 8－1 将下列复数化为极坐标形式： （1） F1 = −5− j5 ；（2） F2 = −4 + j3 ；（3） F3 = 20 + j40 ； （4） F4 = j10 ；（5） F5 = −3 ；（6） F6 = 2.78 − j9.20 。 解：（1） F1 = −5− j5 = a  ( 5) ( 5) 5 2 2 2 a = − + − =  135 5 5 arctan = − − −  = (因 F1 在第三象限) 故 F1 的极坐标形式为  F1 = 5 2 −135 （2）  4 3 ( 4) 3 arctan(3 4) 5 143.13 2 2 F2 = − + j = − +  − =  （ F2 在第二象限） （3）  20 40 20 40 arctan( 40 20) 44.72 63.43 2 2 F3 = + j = +  =  （4）  F4 =10 j =1090 （5）  F5 = −3 = 3180 （6）  2.78 9.20 2.78 9.20 arctan( 9.20 2.78) 9.61 73.19 2 2 F6 = − j = +  − =  − 注 ： 一个复数可以用代数型表示，也可以用极坐标型或指数型表示，即   j F = a + ja = a = ae 1 2 ,它们相互转换的关系为： 2 2 2 a = a1 + a 1 2 arctan a a  = 和 a1 = acos a2 = asin  需要指出的，在转换过程中要注意 F 在复平面上所在的象限，它关系到  的取值及实部 1 a 和 虚部 2 a 的正负。 8－2 将下列复数化为代数形式： （1）  F1 = 10 − 73 ；（2）  F2 =15112.6 ；（3）  F3 = 1.2152 ；

(4)F=10∠-90°：(5)F=5∠-180°：(6)F=10∠-135°. 解：(1)F=10∠-73°=10×c0s(-73°)+10×sim(-73)=2.92-j9.56 (2)F=15∠112.6°=15cos112.6°+15sin112.6°=-5.76+j13.85 (3)F3=1.2∠152°=1.2cos152°+1.2sin152°=-1.06+j0.56 (4)F=10∠-90°=-j10 (5)F=5∠-180°=-5 (6)F=10∠-135°=10cos(-135)+10sim(-135)=-7.07-j7.07 8-3 若100∠0°+A∠60°=175∠p。求A和0。 解：原式=100+Acos60°+jasm60°=175cosp+175simo根据复数相等的定义，应有实 部和实部相等，即 4cos60°+100=175cosp 虚部和虚部相等 Asin60°=175sinp 把以上两式相加，得等式 A2+100A-20625=0 解得 A=-100±V1002+4x20625 「102.07 2 1-202.069 所以 sin p=4sin 60 102.07x3 175 175 2=0.505 p=30.34 8-4 求8-1题中的F2·F6和F/F6。 解：F×F6=(-4+j3)×(2.78+j9.20)=5∠143.13°×9.61∠73.19° =48.05∠216.32°=48.05∠-143.68°

（4）  F4 =10 − 90 ；（5）  F1 = 5 −180 ；（6）  F1 =10−135 。 解：（1） F1 =10− 73 =10cos(−73 ) + j10sin( −73 ) = 2.92 − j9.56    （2） F2 =15112.6 =15cos112.6 +15sin 112.6 = −5.76 + j13.85    （3） F3 = 1.2152 = 1.2cos152 +1.2sin 152 = −1.06 + j0.56    （4） F4 =10 − 90 = − j10  （5） 1 = 5 −180 = −5  F （6） F1 =10−135 =10cos(−135 ) +10sin( −135 ) = −7.07 − j7.07    8－3 若 1000 + 60 =175   A 。求 A 和  。 解：原式=100 + Acos60 + jasin 60 =175cos + j175sin    根据复数相等的定义，应有实 部和实部相等，即 cos60 +100 =175cos  A 虚部和虚部相等 sin 60 =175sin   A 把以上两式相加，得等式 100 20625 0 2 A + A − = 解得    − = −  +  = 202.069 102.07 2 100 100 4 20625 2 A 所以 0.505 175 2 3 102.07 175 sin 60 sin =  = = A    = 30.34 8－4 求 8－1 题中的 F2  F6 和 F2 F6。 解：   F2  F6 = (−4 + j3)(2.78+ j9.20) = 5143.13 9.6173.19   = 48.05216.32 = 48.05 −143.68

-4+j35∠143.13° F/F6=278+920961273.19 =0.52∠69.94° 8-5 求8-2题中的E+F、-F+F和E/E 解： F+F=10∠-73°+5∠-180 =10cos(-73)+j10sim-73)-5=-2.08-j9.56=9.78∠-102.27 -F+Fs=-10∠-73°+5∠-180°=-10c0s(-73)-j10sim(-73°)-5=-14.56+j9.56 RR- =2∠-73°+180°=2∠107 8-6 己知F1=F1川∠60°，F2=-7.07-j7.07,求F1+F2最小时的F1。 解： F2=-7.07-j7.07=10∠-135 F+F2=F∠60°+10∠-135°=F∠p 同除以1∠60°，F+10∠165°=F∠p-60°，展开 F+10cos165+j10sin165=F cos(-60)+jFsin(-60) 其中实部F+10cos165°=Fc0s(p-60) 虚部10sin165°=Fsin(p-60) F最小时，sin(p-60)最大，p=150°此时 sim(p-60)=1,|F=10sin165°=2.59 1El=Fcos(p-60)-10c0s165°=9.66 F=Fl∠60°=9.66∠60° 8-7 若已知两个同频正弦电压的相量分别为U,=50∠30V,U2=-100∠-150V,其频率f=100Hz。求： (1)4、42的时域形式：(2)山，与山2的相位差

   0.52 69.94 9.61 73.19 5 143.13 2.78 9.20 4 3 2 6 =    = + − + = j j F F 8－5 求 8－2 题中的 F1 + F5、− F1 + F5 和 F1 F5 。 解：   F1 + F5 =10− 73 + 5−180 =10cos(−73 ) + 10sin( −73 ) − 5   j  = −2.08 − j9.56 = 9.78−102.27   − F1 + F5 = −10 − 73 + 5 − 180 = −10cos(−73 ) − 10sin(−73 ) − 5   j = −14.56 + j9.56      2 73 180 2 107 5 180 10 73 1 5 =  − + =   −  − F F = 8－6 已知 F1=|F1|∠60º，F2= -7.07-j7.07，求|F1+F2|最小时的 F1。 解：  F2 = −7.07 − j7.07 = 10 − 135 + = 60 + 10 −135 F1 F2 F1 = F  同除以 1∠60º， + 10165 =  − 60 F1 F  ，展开 10cos165 10sin165 cos( 60 ) sin( 60 ) 1 F +  + j  = F  −  + j F  −  其中实部 10cos165 cos( 60 ) 1 F +  = F  −  虚部 10sin165 = F sin( − 60) |F|最小时， sin( − 60) 最大，  = 150 此时 sin( − 60) = 1, F = 10sin165 = 2.59 = cos( − 60) −10cos165 F1 F  =9.66 = 60 1 1 F |F | = 9.6660 8-7 若已知两个同频正弦电压的相量分别为 U  1 = 5030V ，U  2 = −100−150V ，其频率 f = 100Hz 。求： （1） 1 u 、 2 u 的时域形式；（2） 1 u 与 2 u 的相位差

解：(1)4()=50W2cos(2π+30°）=502cos(628+30°）Ψ 4(t)=-100N2cos(2πf-150）=100W2cos(6281-150°+180°）=100W2cos(6281+30°)V (2)U=50∠30°，U2=100∠30°V故相位差为0=0，即两者同相位。 8-7 若己知两个同频正弦电压的相量分别为，=50∠30°V,02=-100∠-150°V,其频率 ∫=100止。求： (1)写出4,4，的时域形式；(2)4与山，的相位差。 (1)4()=50V2cos(21+30)=50√2cos(6281+30°)V 4,()=-100W2cos(2-150)=100N2c0s(6281-150°=180°)W =100√2cos(6281+30°)W (2)因为0=50∠30°V,02=-100∠-150°V=100∠30°V 故相位差为p=30°-30°=0°，即4与4，同相位。 8-8 8-8 已知一段电路的电压、电流为：1=10sim1031-20°)Ψ，i=2c0s1031-50)A 画出它们的波形图和向量图：(2)求出它们的相量差。 解：(1)u=10sin(103t-20)=10cos(103t-110°)Ψ，故u和i的相量分别为 0-84-ov1后-04 其波形和相量图见题解图(a)和图(b)所示

解：(1) u t ft t V 1 ( ) = + = + 50 2 cos 2 30 50 2 cos 628 30 (  ) ( ) o o o u t ft t t V 2 ( ) = − − = − + = + 100 2 cos 2 150 100 2 cos 628 150 180 100 2 cos 628 30 (  ) ( ) ( ) o o o o (2) . 1 U =  50 30o ， . 2 U V =  100 30o 故相位差为  = 0 ，即两者同相位。 8－7 若已知两个同频正弦电压的相量分别为 U V   1 = 5030 U V   , 2 = −100−150 ，其频率 f =100Hz 。求： （1）写出 1 u ， 2 u 的时域形式；（2） 1 u 与 2 u 的相位差。 （1） u1 (t) 50 2 cos(2 ft 30 ) 50 2 cos(628t 30 )V   =  + = + u2 (t) 100 2 cos(2 ft 150 ) 100 2 cos(628t 150 180 )V    = −  − = − = 100 2 cos(628t 30 )V  = + （2）因为 U V   1 = 5030 U V V    , 2 = −100−150 =10030 故相位差为     = 30 −30 = 0 ，即 1 u 与 2 u 同相位。 8－8 8－8 已知一段电路的电压、电流为： u 10sin(10 t 20 )V 3  = − ，i 2cos(10 t 50 )A 3  = − 画出它们的波形图和向量图；（2）求出它们的相量差。 解：（1） u 10sin(10 t 20 ) 10cos(10 t 110 )V 3  3  = − = − ，故 u 和 i 的相量分别为 U V   110 2 10 =  − I A   50 2 2 =  − 其波形和相量图见题解图(a)和图（b）所示

CA) u() 110 10 a ) 题解8-9图 (2)相位差9=9。-9=-110°-(-50°)=-60°，说明电压落后于电流60°。 8-9 己知图示三个电压源的电压分别为： 4=220W2cos(om+10)Y,4。=2202coso-110°)W，4.=2202c0s(o+130°)V, 求：(1)3个电压的和：(2)4h,山c:(3)画出它们的相量图。 4(a) b u6)' u(c) 题解8-10图 解：山。，山。，4的相量为 0。=220∠10°V 0。=220∠-110y 0.=220∠130°V (1)应用相量法有 0。+0。+0.=220∠10°+220∠-110°+220∠130° =0 即三个电压的和4)+4，(0+4.(0=0 (2)0=0。-0。=220∠10°-220∠-110°

题解 8－9 图 （2）相位差     =  u − i = −110 − (−50 ) = −60 ，说明电压落后于电流  60 。 8－9 已知图示三个电压源的电压分别为： ua 220 2 cos( t 10 )V  =  + ，ub 220 2 cos( t 110 )V  =  − ，uc 220 2 cos( t 130 )V  =  + ， 求：（1）3 个电压的和；（2） uab ubc , ；（3）画出它们的相量图。 题解 8－10 图 解： a u ， b u ， c u 的相量为 Ua V   = 22010 Ub V   = 220 −110 Uc V   = 220130 （1）应用相量法有       Ua +Ub +Uc = 22010 + 220 −110 + 220130 = 0 即三个电压的和 ua (t) + ub (t) + uc (t) = 0 （2）      Uab = Ua −Ub = 22010 − 220 −110