曲线C包含在其内部考虑积分 复变函数与积兮变换 ∫(z)dz 根据复合闭路定理 积分与曲线C的选取无关 =…+C-n(z-z0)"dz+…+C1(z-z0)d+ 0 例22 2Ti +cndz+∮c1(z-x)d+…+∮cn(z-)”dz+ 2兀LC-1 0 Cauchy积分定理 Laurent级数中负幂项1(z-z0)的系数
1 2 , ic = − 0 1 0 0 d ( )d ( ) dn n C C C + + − + + − + c z c z z z c z z z = + − + + − + − − − − C C n n c (z z ) dz c (z z ) dz 1 0 1 0 ( )d C f z z 0 2i Laurent级数中负幂项c−1 (z − z0 ) −1 的系数 0 C 0 z . 曲线C包含z0在其内部. 考虑积分 定理2.3 (Cauchy积分定理) 设f (z)是单连 D C 说明: 该定理的主要部分是 Cauchy 于1825 年建立的, 它是复变函数理论的基础. 通区域 D上的解析函数，则对D内的任何可求 长Jordan曲线C, 都有 ( )d 0. C f z z = 根据 复合闭路定理 , D C C1 C2 C3 都在C 的内部, 它们互不包含也互不相交, 并且以 定理2.4 设 1 2 , , , , C C C Cn 是多连通区域D内 是 D上的解析函数, 那么 1 ( )d ( )d , k n C C k f z z f z z = = 其中C和Ck (1kn)取正向. 若 f (z) 分段光滑(或可求长) Jordan曲线, C C C 1 2 , , , n 都 为边界的闭区域含于D内. 1 2 , , , , C C C Cn 积分与曲线C的选取无关 0 1 0 1 2 , 0, d ( ) 0, 0. n z z r i n z z z n + − = = = − 例2.2. 积分值与圆周的中心、半径无关
复即c ∫(z)Jz=ResU(z,zol 变 ncL C 定义44设a是f(z)的孤立奇点,C是在z的充分 5小邻域内包含动在其内部的分段光滑正向Joan|曲 积线,积分 么 ∫(z)dz 变 2TL C 称为(在点的数(eso记做Re「()x 函数f()在孤立奇点点的留数即是其在以a 为中心的圆环域内 Lauren级数-1次幂项的系数
Res[ ( ), ]. 0 = f z z 1 1 ( )d 2 C c f z z i − = 即 定义4.4 设z0是f (z)的孤立奇点, C是在z0的充分 小邻域内包含z0在其内部的分段光滑正向 Jordan曲 线, 积分 1 ( )d 2 C f z z i 称为f (z)在z0点的留数(Residue), 记做 Res ( ), . 0 f z z 函数 f (z)在孤立奇点z0点的留数即是其在以 z0 为中心的圆环域内Laurent级数-1次幂项的系数
复 定理45(留数基本定理)设函数f(x)在区域D 或西除有限个孤立奇点x,x2,玩1外处处解析C是D 数内包含所有奇点在其内部的分段光滑正向 Jordan 与积分变换 曲线,则 ∮/(x=2n∑Res(x,x k=1 根据留数基本定理,函数在闭曲线f(z)上的积 分可归结为函数在曲线内部各孤立奇点处留数的计 算问题
定理4.5 (留数基本定理) 设函数f (z)在区域D 内除有限个孤立奇点 1 2 , , , n z z z 外处处解析, C是D 内包含所有奇点在其内部的分段光滑正向 Jordan 曲线, 则 1 ( )d 2 Res ( ), . n k C k f z z i f z z = = 根据留数基本定理, 函数在闭曲线f (z)上的积 分可归结为函数在曲线内部各孤立奇点处留数的计 算问题
证明分别以1,2…,为 复变函 中心,作半径充分小的正向圆周 刻C,C2,…C,使得它们中的每个(6 g(2 与都在其余的外部,而都在C的内部 积分变换 根据复合闭路定理 f(zdkx=φf(z)dz+pf(z)dk+…+φ∫(z)dk 再由留数的定义,即得 ∮/(x0=2m∑Res()x] =1
证明 分别以 1 2 , , , n z z z 为 中心, 作半径充分小的正向圆周 1z 2 z nz D C . . . C1 … C2 Cn 1 2 , , , , C C Cn 使得它们中的每个 都在其余的外部, 而都在C的内部. 根据 复合闭路定理 , D C C1 C2 C3 都在C 的内部, 它们互不包含也互不相交, 并且以 定理2.4 设 1 2 , , , , C C C Cn 是多连通区域D内 是 D上的解析函数, 那么 1 ( )d ( )d , k n C C k f z z f z z = = 其中C和Ck (1kn)取正向. 若 f (z) 分段光滑(或可求长) Jordan曲线, C C C 1 2 , , , n 都 为边界的闭区域含于D内. 1 2 , , , , C C C Cn 1 2 ( )d ( )d ( )d ( )d . C C C Cn f z z f z z f z z f z z = + + + 再由留数的定义, 即得 1 ( )d 2 Res ( ), . n k C k f z z i f z z = =
4.2.2留数的计算 复变数与 (1)如果z为f(x)的可去奇点,则 Resf(2, zo=0. 积(2)如果z为f(z)的本性奇点则需将f(x)展开 成 Laurent级数,求C1 变 换(3)如果4为f(x)的极点,则有如下计算规则 法则4.1如果x为f(x)的1级极点,那么 Reslf(z), zo=lim(z-zof(z
4.2.2 留数的计算 (1) 如果 0 z 为 f (z) 的可去奇点, 则 Res[ ( ), ] 0. 0 f z z = •法则4.1 如果 z0 为 f (z) 的1级极点, 那么 成Laurent级数, 求 . −1 c (3) 如果 0 z 为 f (z) 的极点, 则有如下计算规则 0 Res[ ( ), ] lim[( ) ( )]. 0 0 z z f z z z z f z → = − (2) 如果 0 z 为 的本性奇点, f (z) 则需将 f (z)展开