4.1.3本性奇点 复变函 定义43如果f()在0<z-x<8内的 Laurent 数展开式中含有无穷多个系数非零的z-负幂项,即 存在无限个整数n<0,使得cn≠0,则称a是函数f(x) 积分变换 的本性奇点 例4.5z=0是e2和Si一的本性奇点.这是因为 e=1+z3+a,+…+,+…(0<团<+), 2! n 无穷多负幂项 十 0<z<+ 3!5!
4.1.3 本性奇点 定义4.3 如果f (z)在 0 0 − z z d 内的Laurent 展开式中含有无穷多个系数非零的 z z − 0 负幂项, 即 存在无限个整数n<0, 使得 0, n c 则称z0是函数f (z) 的本性奇点. ( ) 1 2 1 1 0 z , 2! ! n z z z e z n − − − = + + + + + + ( ) 3 5 1 1 sin 0 . 3! 5! z z z z z − − = − + − + 例4.5 z=0是 和 的本性奇点. 这是因为 1 z e 1 sin z 无穷多负幂项
复 定理44设f(a)在0z-列<8内解析,则 变 函动是f(a)的本性奇点的充分必要条件是imf(z) 与不存在有限或无穷的极限 积 Weierstrass得到了如下重要结论: 么 变 设∫(x)在0<z-列0<δ内解析,则是f(x) 换 的本性奇点的充分必要条件是对任何有限或无穷 的复数m,都存在点列{zn,使得 09 并且 lim f(zn)=wo
定理4.4 设 f (z)在 0 0 − z z d 内解析，则 不存在有限或无穷的极限. z0 是 f (z)的本性奇点的充分必要条件是 0 lim ( ) z z f z → Weierstrass得到了如下重要结论： 设 f (z)在 0 0 − z z d 内解析，则 z0 是 f (z) 的本性奇点的充分必要条件是对任何有限或无穷 的复数w0 , 都存在点列 { }, n z 使得 0 , n z z → 并且 0 lim ( ) . n n f z w → =
复综上所述: 变函数与积分变换 函孤立奇点 Laurent级数的特点im(a) 与可去奇点无负幂项 存在且为 有限值 含有有限个负幂项 m级极点关于(z-)的最高幂∞ 为( 0 不存在 本性奇点含无穷多个负幂项且不为 ●●
综上所述: 孤立奇点 可去奇点 m级极点 本性奇点 Laurent级数的特点 lim ( ) 0 f z z→z 存在且为 有限值 不存在 且不为 无负幂项 含无穷多个负幂项 含有有限个负幂项 1 0 ( ) − z − z m z z − ( − ) 0 关于 的最高幂 为
复变函数与积兮变换 84.2留数的一般理论 1留数定义及留数基本定理 2留数的计算
§4.2 留数的一般理论 1 留数定义及留数基本定理 2 留数的计算
复4.2.1留数定义及留数基本定理 变 设x为f(z)的一个孤立奇点,则存在R>0, 与 使得f(在0<z-x<R内解析 积 f(x)在0<z-0<R内 Laurent 变 级数为 换 ∫(x)=…+cn(x-z)"+…+c1(z-)+…+co +c1(z-z0)+…+cn(z-x0)+ 在0<z-如<R内取分段光滑正向 Jordan曲线C
R 4.2.1 留数定义及留数基本定理 0 1 0 1 0 f (z) c (z z ) c (z z ) c n = + n − + + − + + − − − − C 0 设 z 为 f (z) 的一个孤立奇点, 则存在 R>0, f (z) z − z R 内Laurent 在 0 0 1 0 0 ( ) ( ) . n n + − + + − + c z z c z z 0 z . 使得f (z)在 0 z − z0 R 内解析. 级数为 在 内取分段光滑正向Jordan曲线C , 0 0 − z z R