复变数 4.1.2极点 定义42如果/()在0<-动<的 Laurent 5级数展开式中只含有有限个z-z的负幂次项,即 利只有有限个(至少一个整数n<0,使得n≠0则称 变4是/(的极点如果存在正整数n,使得Cm≠ 换而对于整数n<-m,有cn=0,则称a是f(.的m级 极点 当动是f(z)的m级极点时, Laurent级数展开式
4.1.2 极点 定义4.2 如果f (z)在 0 0 − z z d 的Laurent 级数展开式中只含有有限个 0 z z − 的负幂次项, 即 只有有限个(至少一个)整数 n 0, 使得 0, n c 则称 z0是f (z)的极点. 如果存在正整数m , 使得 0, m c− 而对于整数 n m − , 0, n 有 c = 则称z0是f (z)的m级 极点. 当 z0是f (z)的m级极点时, Laurent级数展开式
A f(z=c_m(-z)-m+c_m(-zo) n+1 变 (z-n)+c0+c(z-zn)+c2(z-z0)2 与其中c-m≠0(m21)于是 积 ∫(z)=(z cC -m+1 (z-4o)+C 么 +2 z-z0) 变 换 令g(z)=Cm+Cm+1(z-)+…+cn(z-zn)m+…, 则g(x)在z-zk<8内解析,且只(x)=Cm≠0,即 f(z) -iom(a z)
1 0 1 0 ( ) ( ) ( ) m m m m f z c z z c z z − − + = − + − + + − − + 1 2 1 0 0 1 0 2 0 + ( ) ( ) ( ) , c z z c c z z c z z − − − + + − + − + 其中 0 ( 1). m c m − 于是 2 0 1 0 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) , m m m m f z z z c c z z c z z − − − + − + = − + − + − + 令 1 0 ( ) ( ) ( ) , n m m m n n g z c c z z c z z + = + − + + − + − − + 则 g(z)在 0 z z − d 内解析，且 0 ( ) 0, m g z c = − 即 0 1 ( ) ( ). ( )m f z g z z z = −
复反之,对0<z-<5内的解析函数f(x,如果 变 imf(a)=∞,即limf(z)= 刻不妨设在0<z-动<δ内,f()≠0.令F(z) 与 f(z 积则F()在0<z-<δ内解析,并且 变 lim F(z=0. 胡所以动是(的可去奇点于是在0z-动<内, F(z)的 Lauren级数展开式为 (x)=+B1(x-z)+…+Bn(x-z0)”+
反之, 对 0 0 − z z d 内的解析函数 f (z), 如果 0 不妨设在 0 − z z d 内, f z( ) 0. 令 1 ( ) , ( ) F z f z = 则F(z)在 0 0 − z z d 内解析，并且 0 lim ( ) 0. z z F z → = 所以z0是F(z)的可去奇点, 于是在 内, 0 0 − z z d F(z)的Laurent级数展开式为 0 1 0 0 ( ) ( ) ( ) , n F z z z z z = + − + + − + n 0 lim ( ) , z z f z → = 即 0 lim ( ) , z z f z → = +
复并且存在m≥1,使得月=B 1=0,而 变Bn≠0.于是F(z)=(z-z0yG(x),其中G(在 51-动<d内解析,G()=Bn≠0.令8(x) G(z) 和所以f(x)=(z-x)mg(),其中g(2在1z-z<6 变内解析,g()≠0,那么是f(2的m级极点 换 定理42设f()在0<z-z<8内解析,则 C动是(的极点的充分必要条件是 imf(z)=∞
定理4.2 设 f (z)在 0 0 − z z d 内解析，则 并且存在 m 1, 使得 0 1 1 0, = = = = m− 而 0. m 于是 0 ( ) ( ) ( ), m F z z z G z = − 其中 G(z) 在 0 z z − d 内解析， 0 ( ) 0. G z = m 令 1 ( ) , ( ) g z G z = 0 ( ) ( ) ( ), m f z z z g z − 所以 = − 其中g(z)在 0 z z − d 0 g z( ) 0, 那么 z 内解析， 0是f (z)的m级极点. z0是f (z)的极点的充分必要条件是 0 lim ( ) . z z f z → =
复 这样我们有三种方法来判别函数f(x)的奇点 变 副列是否为极点 数1.由定义判别:f(z)的 Laurent展开式中含有 与 利乙-列的有限负幂项 2.由等价形式判别:在点的某去心邻域内有 变 换 ∫(x)=(z-z0)"g(x)(m≥1), 其中g(x)在x0的邻域内解析,且g(z)≠0 剑3.由极限判别:im∫(x)=∞
f (z) 的Laurent展开式中含有 0 z − z 的有限负幂项. 在点 z0 的某去心邻域内有 其中 g(z) 在 z0 的邻域内解析, 且 ( ) 0. g z0 1. 由定义判别： 2. 由等价形式判别： 3. 由极限判别： 0 lim ( ) . z z f z → = 这样我们有三种方法来判别函数f (z)的奇点 z0是否为极点. 0 ( ) ( ) ( ) ( 1), m f z z z g z m − = −