4.1.1可去奇点 复变函数与积分变换 定义41如果f(在0<z-an<δ内的 Laurent 数级数中不含有z-的负幂项,即当n=-1,-2,-3, 时,Cn=0,则称动是∫()的可去奇点 此时 f(z)=co+c1(z-)+…+Cn(z-)”+ )这个幂级数的收敛半径至少为8,和函数q()在 处解析
4.1.1 可去奇点 0 1 0 0 ( ) ( ) ( ) . n n f z c c z z c z z = + − + + − + 定义4.1 如果f (z)在 内的Laurent 0 0 − z z d 级数中不含有 z z − 0 的负幂项, 即当 n = − − − 1, 2, 3, 时, 则称z 0, 0是 f (z)的可去奇点. n c = 此时 这个幂级数的收敛半径至少为d , 和函数j (z)在z0 处解析
复 无论∫(z)在是否有定义,可定义 变 f(zo)=Co=limf(a=P(zo), 刻则在z-x<δ内∫()=叭(x)解析 与 积 反之,若∫(z)在0<z-<δ内解析,且极限 变=m()存在,则是/(a)的可去奇点 换 事实上:由于lim∫(z)存在,函数f(z)在点 某个去心邻域内有界,即存在两个正数M和r, 使得在0<-≤r内,有f(z)≤M
无论 f (z)在z0是否有定义, 可定义 反之, 若 f (z) 在 0 z − z0 d 内解析, 且极限 lim ( ) 0 f z z→z 存在，则 z0 是 f (z) 的可去奇点. 0 0 0 0 ( ) lim ( ) ( ), z z f z c f z z j → = = = 则在 − d 内 解析. 0 z z f z z ( ) ( ) j 事实上: 由于 存在, 函数 f (z)在 z0 点 0 lim ( ) z z f z → 某个去心邻域内有界，即存在两个正数 M 和 r<d , 使得在 0 − z z r 0 内，有 f z M ( ) .
又因为f(a)在0<z-<δ内解析,所以 复变面数与积 f(z)=∑cn(z-x), 其中cn 2ri(z-zo) n+1 dz(n=0,±1,±2,…)并且 么 变G:一列=P<F取正向.于是根据估值不等式 换 f∫(z) M dz|≤ 2 2ni(z-列 n+1 2 n+1 6当n为负整数时,令p→>0,得Cn=0
又因为f (z)在 0 − z z0 d 内解析, 所以 0 ( ) ( ) , n n n f z c z z =− = − 其中 1 0 1 ( ) d ( 0, 1, 2, ), 2 ( ) n n C f z c z n i z z + = = − 并且 1 1 0 1 ( ) d 2 . 2 ( ) 2 n n n n c f z M M c z i z z + + = = − C z z r : − = 0 取正向. 于是根据 估值不等式 设曲线C的长度为L, 函数f (z)在C上满足 ( )d ( ) d . C C f z z f z s ML f z M ( ) , 则 估值不等式 当n为负整数时, 令 →0, 得 0. n c =
复 定理41设f(4)在0<z-z<δ内解析,则 变z是厂(2)的可去奇点的充分必要条件是存在极限 数!limf(z)=C,其中c0是有限复常数 与 积 这样我们有两种方法来判别函数f()的奇点 安/是否为可去奇点 换1.由定义判断:如果(在a的 Laurent级数无负 幂项,则是f(的可去奇点 2.由极限判断:若极限imf(x)存在且为有限值, 则是f(2的可去奇点
定理4.1 设f (z)在 0 − z z0 d 内解析, 则 z0 是 f (z) 的可去奇点的充分必要条件是存在极限 0 0 lim ( ) , z z f z c → = 其中c0是有限复常数. 这样我们有两种方法来判别函数f (z)的奇点 z0是否为可去奇点. 1.由定义判断: 如果f (z)在z0的Laurent 级数无负 幂项, 则z0是f (z)的可去奇点. 2. 由极限判断：若极限 存在且为有限值, lim ( ) 0 f z z→z 则z0是f (z)的可去奇点
例4.1因为在0<k<+∞内的展开式为 复变函数与积兮变换 SInz =1--z+z-…, 3!5 无负幂项 分或者im SInz =1,所以z0是 SInz 的可去奇点 z-0 SInz 如果补充定义:f()=2,≠0 1,z=0 则f(z)在全平面解析
如果补充定义: sin 1 1 2 4 1 , 3! 5! z z z z = − + − 所以z=0是 z sin z 的可去奇点 . 例4.1 因为 在 内的展开式为 sin z z 0 + z 无负幂项 0 sin lim 1, z z → z 或者 = sin , 0; ( ) 1, 0, z z f z z z = = 则f (z)在全平面解析