第二章§2)研究L函数的零点分布,从而证明了:一定存在一个 正常数η;使对任意的正数η<及任意正数d,有估计式 9(x,) 成立,进而,他利用Brun筛法和这一结果证明了命题{1,b.但 这里的正数v及正整数b都是没有定出具体数值的常数,所以这 是一个有趣的定性结果.若用他原来的方法去确定常数,m将会 很小而b将是很大的.这样,具体地定出尽可能大的m,并确定b 和η之间的联系,就是证明命题{1b的关键问题了 1962年,承洞证明了当7-1时,估计式(36成立并 由此得到命题{1,5}; 1962年,王元从进一步改进筛法着手,由7 推出了 命题{1,4}.同时,他还得到了m和b之间的一个非显然联系 从 3”2份灯分别推出命题{1,4}及{1,3} 1963年, eBH(9)把这一结果改进为m=1及m 2.495 1962年,潘承洞及1963年,Bap6a4互相独立地证明了 m=3时估计式(36)成立,并利用较为简单的筛法就证明了命 8 题{1,4}; 1965年,Byxn0由m3推出了命题{1,3}; 1965年,A.H. BuhorpaAOB及E. bombieri都证明了 m=1时估计式(36)成立, bombieri的结果要稍强些(见第八 2 章§1),这一结果通常称为 Bombicri-BHHorPaAOB定理,它的重要 性是在于它在某些数论问题中起到了可以代替GRH的作用。由 这一结果再利用王元或JeBH的工作,他们就得到了命题{1, 3}.这里应该指出的是, Bombieri的工作对大筛法,特别是大筛 法在数论中的应用作出了重要的贡献(第八章52)
1966年,陈景润宣布他证明了命题{1,2},当时没有给出 详细证明仅简略地概述了他的方法。1973年他发表了命题{1, 2}的全部证明.应该指出的是,在他宣布结果到发表全部证明 的整整七年之中,没有别的数学家给出过命题{1,2}的证明,雨且 似乎国际数学界仍然认为命题{1,3}是最好的结果。因此,当陈 景润在1973年发表了他的很有创造性的命题{1,2}的全部证明 后,立即在国际数学界引起了强烈的反响,公认为这是一个十分杰 出的结果,是对 Goldbach猜想研究的重大贡献,是筛法理论的最 卓越运用,并且一致地将这一结果称为陈景润定理。由于这一结 果的重要性,在很短的时间内,国内外先后至少发表了命题{1,2} 的五个简化证明0.139,m1;0, 陈景润的贡献就方法上来说,在于他提出并实现了一种新的 加权筛法.在第九章,我们将会看到,为了实现他的加权筛法,在 估计余项上出现了 Bombieri- BHHorpanOB定理所不能克服的困难 后来,在文[89],[90]中指出,利用陈景润的加权筛法证明命题 {1,2}的基础是证明下面新的一类均值定理(见第八章52): maxmaX ∑g(a)((y;4,l) ≤x(4)=11a∈E(x) (da)slog"x (37) 这亦是陈景润)最近改进D(N)土界估计的基础.我们将在第八 章讨论(36),(37)二种类型的均值定理,并在第九章证明命题 {1,3},{1,2}及介绍陈景润改进D(N)上界估计的方法 (三)密率 最后我们极简单地谈谈密率。密率是丌.I. I HHpeJIbMa99 在1930年所首先提出的关于自然数集合的一个十分重要的基本 概念,密率理论后来有广泛的发展和应用,关于这方面的内容可 参看[51,[81],[37],这里不作介绍了
在 Landau提出猜想(C),并预言证明它是当代数学家力所 不及的之后,仅仅过去了二十年, LiHrpejibmaH在1933年就利 用他的密率理论和Brun筛法证明了猜想(C).但他没有定出其 中的常数k如果我们以表示最小的整数,使每一个充分大的 正整数都可表为不超过r个素数之和(通常称为 HHpeIbMaH 常数),从Ⅱ IHHpeJTbMaH的方法可以证明r≤800,000,这一结果 后来得到了不断的改进。 1935年, PoMaHoB证明了s≤2208; 1936年, Heilbronn, Landau及 Sckerko4证明了∮≤71; 1936年, Riccia证明了r≤67; 1950年, Shapin1证明了s≤20; 1956年,尹文霖证明了s≤18 以上结果都是用初等的密率理论结合筛法得到的.如再利用 解析数论的一些高深的结果,可对s的数值作进一步的改进。这 方面的结果是: 1968年, Siebert及Kye, 4eyypo!都证明了≤10; 1976年, vaughan11证明了s≤6. 还应该提出的是,一些作者定出了猜想(C)中的常数,这 方面的结果是: 1972年,KmM,Ib及Ⅲ LenTHLIK4证明了k≤ 115; 1975年,KmM6证明了k≤55; 1977年, Vaughan证明了≤27 由于从三素数定理立即可推出s≤4,所以本书将不讨论密 率及其所得到的结果。当然,关于常数死的结果,目前只有用密率 的方法才能得到 以上我们简单地回顾了二百多年来研究 Goldbach猜想的历 史,介绍了主要的研究方法和取得的主要成果。对 Goldbach猜想 1)目前最好的结果是M, Deshouillers(见Math, Review2575933)证明的 ≤26
的研究有力地推动了数论,函数论等一些数学分支的发展。它和 无数例子一样,再一次生动地证明了合理的假设在科学发展中的 重要地位和作用,一个有价值的假设,不管它最终被证明是正确 的错误的,或是部分正确,部分错误,都将引导人们去探索新的科 学真理,推动科学的向前发展 从1966年陈景润宣布他证明了命题{1,2},到今天已经过 去十三个年头了.应该说在这时期中,对 Goldbach猜想的研究没 有重大的实质性的进展,事情往往是如此,对于研究一个问题来 说,迈出开创性的第一步和走上彻底解决它的最后一步都同样是 最困难的,虽然,表面上命题[1,2}和命题{1,1} Goldbach 猜想的基本解决仅“1”之差,但是,看来完成这最后的一步所 要克服的困难可能并不比我们已经走过的道路要来得容易.我们 也没有多少把握可以肯定,沿着现有的方法一定可以最终解决 goldbach猜想.至今对于猜想(A),我们甚至还不能给出一个假 设性的证明 只要稍为看一下现有的解析数论的基础理论就不难发现,我 们对于 Dirichlet特征,素数分布,函数,L函数理论等方面的知 识仍然了解得非常之少.圆法,在对余区间上的积分D2N)的处 理—一也就是对线性素变数三角和S(a,N)的估计—碰到了巨 大的困难.初等的筛法和密率(也需要筛法)虽然和解析方法相结 合使它变得十分强有力但现在的筛法毕竟是十分粗糙的,也许这 种方法有其天然的局限性,我们对素数的算术性质同样也知道得 极其肤浅。或许可以认为,今天对猜想的研究正处于一个相对的 停滞阶段。这就是说,需要我们对原有的方法和结果作出重大的 改进,或提出新的方法才有可能使 Goldbach猜想的研究得到新的 推进。因此,把迄今为止研究 Goldbach猜想的主要方法和得到的 主要成果作一总结是必要的和有益的 二百多年来许许多多的数学家对 Goldbach猜想从各个不同 角度作了大量的研究,从方法到结果都是极其丰富的,要作一个 全面的、恰如其份的有创见和启发性的总结,亚然是不容易的这
不是本书的任务,也是我们力所不及的,在这一本小书中,我们打 算讨论一下圆法和筛法(Sbrg筛法),以及与其有关的大筛法、 函数、L函数理论、线性素变数三角和估计、复变积分法等.我们 要证明的主要结果,是三素数定理和命题{1,2},同时介绍一下 D(N)上界估计的改进及有关 Goldbach数的若干结果.就方法和 结果来说我们比较侧重于基本方法的介绍.有一些结果(如线性 素变数三角和估计,算术级数中素数分布的均值定理等)可以用不 同的方法加以证明,我们认为这些方法都是重要的,所以都作了介 绍.有时,对所用的方法作更细致,技巧更复杂的讨论后,可以得 到更强的结果,但为了把基本方法介绍清楚,我们宁可使这里所证 明的结果不是最好的(如命题{1,3},{1,2}中的系数,D(N)上 界估计中的系数等)我们希望本书中所介绍的方法不仅对研究 Goldbach猜想,而且对整个解析数论都是重要的.有些数学家把 Goldbach猜想看作是一个更广泛的猜想的一部分本书将丝毫不涉 及这种推广。从目前来看,我们认为猜想的最原始,最简单的形式 也是最重要的,大家知道,关于偶数 Goldbach猜想的每一个结果都 可相应地推广到孪生素数上去,但本书亦将不讨论这一著名问题 本书末所列出的文献仅是本书所需要的,当然是不完全的 在[50],[38】及[82]等著作中附有有关内容的十分详尽的文献 初等数论和解析数论的基础知识是本书所需要的预备知识 前者主要可参看【51],【80],[137]及[43]等书,后者主要可参 看[60],[25],[92],[81]及[123]等书.由于篇幅所限,我们对 以下的内容: (1)了()在临界长条0≤σ<1中的阶的估计(见第四章§2 引理5)。 (2)(x)及L函数的非零区域(见第十章§1引理11,第十二 章51引理1) (3) Turan方法(见第十章§2) (4)素变数三角和∑c(pa)的估计(见第六章§5引理15) 将不给出证明,在文中将指出参考文献 18·