家,2,,差不多同时证明了:几乎所有的偶数都可以表 为二个奇素数之和。确切地说他们亚明了,对任给的正数A,我 们有 E(*)《 (见第十一章1)。华罗庚的结果比旁人要强,他还证明了对任 意给定的正整数,几乎所有的偶数都可表为p1+P1P2为奇 素数 1972年, vaughan-证明了:存在正常数c使 E(x)“xxp(-c√lgx) (26) 1973年, Ramachandra's把结果(25)推广到了小区间上(见 第十一章§3) 1975年, Montgomery和 Vaughan进一步改进了(26),证 明存在一个正数△>0,使 E(x<xl-A (见第十一章52).这是一个很漂亮的结果.在这里他们第一次把 大筛法应用于对圆法中基本区间的讨论。为了证明这一结果几乎 用到了L函数零点分布的全部知识(见第十章),最近在文献[2l 中,定出了常数△>0,01 通常我们把可以表为二个奇素数之和的偶数称为 Goldbach 数,而E(x)称为不超过x的 Goldbach数的例外集合,以上关于 猜想(A)的结果是证明了:几乎所有的偶数都是 Goldbach数,并 逐步改进了对 Goldbach数的例外集合E(x)的阶的估计, 此外,还应该提到的是, . HHHEKL77首先利用圆法研究了相邻 Goldbach数之差这一有趣的问题,我们将在第十二章中讨论 (二)筛法 其次我们来谈谈筛法.在提出圆法的同时,为了研究猜想 (A),数论中的一个应用广泛的强有力的初等方法—筛法也开
始发展起来了。要解决猜想(4)实在是太困难了,因此人们设想 能否先来证明每一个充分大的偶数是二个素因子个数不多的乘积 (通常这种数称为殆素数)之和,由此通过逐步减少素因子的个数 的办法来寻求一条解决猜想(A)的道路.设a,b是二个正整数, 为方便起见,我们以命题{,来表示下述命题:每一个充分大 的偶数是一个不超过a个素数的乘积与一个不超过b个素数的乘 积之和。这样,如果证明了命题{1,1},也就基本上解决了猜想 大家知道筛法本是一种用来寻找素数的十分古老的方法,是 二千多年前的希腊学者 Eratosthenes所创造的,称为 eratosthenes筛 法.我们的素数表基本上就是用这种方法编造的.但是,由于这 种原始的筛法没有什么理论上的价值,所以在很长的时期里都没 有进一步的发展.用现在的语言简单地来说,我们可以这样描述 筛法:以、x表示一个满足一定条件的由有限多个整数组成的 集合(元素可重复),以出表示一个满足一定条件的无限多个不 同的素数组成的集合,z≥2为任一正数。令 P(x)-Ⅱp 28) 我f以S(;,z)表示集合,还中所有和P(x)互素的元素的 个数,即 (29) ,P零》=】 这里P(z)好象是一个“筛子”,凡是和它不互素的数都被“筛掉”, 而和它互素的数将被留下,这正是“筛法”这一名称的含意,这里 的“筛子”是和集合∮及x有关,愈大“筛子”就愈大,被“筛掉” 的数也就越多,而S(;,x)就是集合,经过“筛子”P(z) “筛选”后所“筛剩”的元素个数.我们把S(a;,x)称为筛函 数。粗略地说筛法就是研究筛函数的性质与作用,它的一个基本 问题就是要估计筛函数S(a;,z)的上界和正的下界(因为 ,z)总是非负的)
现在,我们先来看一下命题{4,b是怎样和筛函数联系起来 的。设N为一大偶数,取集合 1≤n≤N},(30 9为所有素数组成的集合。再设≥2,取x一N1/,如果能证 明 s(;,N14) (31) 则显然就证明了命题{a,a},这里 1,λ是正整数 [λ],λ不是正整数 若当λ〓2时,(31)成立,则就诳明了命题{1,1}.另一方面,若 求得S(;塑NA)的一个上界,那么我们就相应地得到了一个 大偶数表为二个素因子个数不超过“个的数之和的表法个数的上 界。 如果我们取集合 (N)={N-p,p≤N (33) 那末,如果能证明 S(s;5,N1)>0, (34) 则显然就证明了命题{1,a}.同样,若求得S(闭;驴,N)的 个上界,那么我们亦就相应地得到了偶数表为一个素数与一个素 因子不超过a个的数之和的表法个数的上界 由以上的讨论可清楚地看出,命题{a,b和求筛函数的正的 下界及上界这一问题是紧密村关的。而且必须着重指出的是,这 里要求x所取的值相对于N来说不能太小,一定要取N那么大 的阶,显然λ能取得越小越好,如果一种筛法理论仅能对较小的z 相对于N),比如说取logN大小时才能证明筛函数有正的下界 估计,那么这种筛法理论对于我们的问题来说是无用的。而古老 的 Eratosthenes筛法却正是这样一种筛法(见[38],[50],[81]) 直到1920年前后,才由Brun首先对 Eratosthenes筛法作了 具有理论价值的改进,并利用他的方法证明了命题{9,9这一惊 人的结果,从此开辟了利用筛法研究猜想(A)及其他许多数论问
题的极为广阔且寓有成果的新途径.Brun对数论作出了重大的 贡献.人们称他的方法为Brn筛法.Bun筛法有很强的组合数 学的特征,比较复杂,而且应用起来并不方便。不过Brun的思 想是很有启发性的,可能仍有进一步探讨的必要(见[381,[50], [81]) 1950年前后,A. Selbergalll, u11测用求二次型极值的方 祛对 Eratosthenes筛法作了另一重大改进,由他的方法可得到筛 函数的上界估计.这种筛法称为 Selberg筛法.把这种方法和 Eyx6恒等式(第七章51引理1)结合起来就可得到筛函数的 下界估计. Selberg筛法不仅便于应用,而且迄今为止它总是比 Bn筛法得到更好的结果。目前,对某种筛函数(也是我们的 问题所需要的)所得到的最好的上界及下界估计是由 Jurkat-Ris cher13利用 Selberg筛法所得到的.本书将仅讨论 Selberg筛法, 主要目的是证明 Jurkat-Richert的结果(见第七章),为证明命题 1,2}作准备 这里还要指出一点在前面的讨论中,我们是把命题{4,b和 ,对一个筛函数的估计直接相联系的,而这样做使我们所得到的结 果是比较弱的。1941年,Kuhn6首先提出了所谓“加权筛法” 利用这种方法使我们可以在同样的筛函数上、下界估计的基础上 得到更强的结果.后来许多数学工作者对各种形式的“加权筛法” 进行了深入的研究,从不断提高了筛法的作用。陈景润正 是由于提出了他的新的加权筛法才证明了命题{1,2}.现在所有 的最好结果都是利用加权形式的Srg筛法得到的,我们将在 第九章结合命题{1b来对加权筛法作一简单的说明 下面我们简述命题{a,b的发展历史 1920年,Brun证明了命题{9,9}; 1924年, Rademacher证明了命题{7,7}; 1932年, Estermann2证明了命题{6,6}; 1937年,Rc1证明了命题{5,7),4,9},{3,15}以及 {2,366}
实”门一票 1938年,6yⅫra证明了命题{5,5} 1939年, TapraKoBCKHi11及1940年, byxiITa6)都证明 了命题{4,4}; Kuhnl e6e6在1941年提出了“加权筛法”,后来证明了命题 {a,b,a+b≤6. 以上的结果都是利用Brun筛法得到的 1950年, Selberg宣布用他的方法可以证明命题{2,3}, 但在长时期内没有发表他的证明。以下的结果都是利用Sbrg 筛法得到的. 1956年,王元证明了命题{3,4}; 1957年,A.H. BHHorpaAOB'证明了命题{3,3}; 1957年,王元1证明了命题{2,3}以及命题{a2b},a b≤ 但是,以上这些结果中,都有一个共同的点,就是我们还不 能肯定二个数中至少有一个为素数。为了得到这种结果—即要 证明命题{1,b},如前所述,我们就需要估计銌函数S(; z).在第七章中我们将会看到,在估计筛函数的上界和下界时,同 圆法一样,也要计算主要项和估计余项,并证明相对于主项来说余 项是可以忽略的.在证明以上的命题{a,b}时,余项的估计是初 等的比较简单的.但为了证明命题{1,b}在余项估计上碰到了 很大的困难.这个困难〔见第七章§1)实质上就是要估计下面的 和式 ,2)-以(=:=:(:1,D-5(1) 为了估计这一和式,就需要利用复杂的解析数论方法,这种类型 的估计通常称为算术级数中素数分布的均值定理(见第八章 1948年,匈牙利数学家A.Rnyi首先在这方面作出了开 创性的极为重要的推进。他利用JHH所创造的大筛法(见 1)在此之前, Estermann在GRH下证明了命題{1,b, EyxurTa61亦证明 了一个有趣的结渠.后来王元,1在GRH下证明了命题{l,4}及{,3} I了