第一章特征与Gau和 设x(n)为模q的特征,m为一整数我们称 G)-8x(() 为 Gauss和.这一章主要是研究Gaus和G(m)的性质.由于 这里以及本书的大多数章节都要用到有关特征的知识,所以,我们 将首先比较详细地来叙述特征的基本概念和性质.对于所列出的 性质我们都不加证明.因为这些内容很容易在许多数论书中找到 (例如可参看[24],I29],[51],[601,[80],[921,[123]等) 51.特征 由L. Dirichlet所引进的模q的特征(或称特征函数)是数论 中的一个十分重要的基本概念。特征的主要作用是在于:利用它我 们可以从一个给定的整数序列中把属于某一个公差为4的算术数 列的子序列分离出来.因此它在许多数论问题中,特别是 Goldbach 猜想的研究中起着很关键的作用.特征可以月不同的方法来定 义,我们定义特征如下(6: 定义设q=2计…P,P;为不同的奇素数(l≤i≤5),g 为模p的最小正原根(1≤i≤5,以及 2,l≥2 =小(P),(1≤i≤5 其中中4)为 Euler函数,则对于任意给定的一组鳖数m,m m1……,m;我们称定义在整数集合上的函数
∴;? 171 为模4的特征(或特征函数)其中γ,7,1;…γ为n对模q的 一个指标组 为了着重指出特征x(m)是属于模q的,我们经常采用记号 x(n)或x(n)modq 下面我们来列出有关特征的一些基本知识 1.模q的特征x(n)称为模q的主特征,如果当(n,q)=1 时恒有x(n)=1,主特征记为x(n).其它所有的特征都称为非 主特征.只取实值的特征称为实特征,其它的称为复特征 2模q的特征x(n)是以q为周期的周期函数,且x(I)=1 x(n)曰1,(n,q)=1. 3.特征x(n)是完全可乘函数,即对任意的整数m1,n2有 x(n,n2)ex(nx(n2) 4.对于一个固定的模q来说,有且仅有中(q)个不同的模q 的特征 5.我们有 φ(q) x xo Io x h x 以及当(a3q)一1时有 中(q),n≡a(q), i(a)x(n) 0 n≠a(q) 其中求和号∑表示对模4的所有的特征求和 6设x,x9分别为模q1,q2特征,则 x(n=Xe, (n)%a, G, 为模q[q1q2]的特征,由于模q的特征一定亦是模q'的特征, 只要q和4有相同的素因子,且gq,所以我们以后总规定乘积
x1(n)x2(n)为模[q192]的特征,对二个以上的特征相乘时亦一 样,即设x;为模q的特征(1≤i≤),则乘积x,x总规 定为是模【q13…,qJ的特征 7.设x(n)为模q的特征,q〓q12,(q2;q2)=1,则一定存 在唯一的一对模红,华2的特征xn、(n),xa2(n),使 x(n)〓x,(n)xn(n) 且x(n)为主(或实)特征的充要条件是x(n),xn(n)均为主(或 实)特征 8设x(n)为模q的非主特征,如果存在一个q<q,使对所 有满足条件 (n3,q)=(n2,q)=1,n1≡n2(q) 的n1yn2有 x(n1)=x(n2) 成立则称x(n)为模q的菲原特狂反之则称为模q的原特征 显然,在性质7中,x(n)为原特征的充要条件是x1(n)及xn(n) 均为模q1及q2的原特征 9若x(n)为模q的原特征,则对任一d,d<引,d9,一定 可找到一个整数n使 1(d),x(n0)≠1 原特征的概念是十分重要的,下面的性质刻划了原特征在特 征中的地位 10对模q的任一非主特征x(n),一定存在唯一的一个模q* qlq,及唯一的一个模q*的原特征x(n),使当(n,q)1时有 x(n)-x*(n) 成立,我们称x*(n)为对应于x(n)的原特征; 反之,设x*(n)为模q*的原特征,4为任一给定的正整数 qlq,则一定存在唯一的一个模q的非主特征x(n),使当(n,9) 1时有 (n)=x(n) 成立。我倡称x(n)为由原特征x(n)所导出的特征
对于以上这种非主特征与原特征之间的对应关系我们记作 x<>x*,或xmdq←> x mod q, 石 或简写为 11.设x→x#*,再设q1是和q*有相同素因子(不计重数) 的q的最大除数,即q满足条件 pq1=>pq"“,qlq q (显然q*4),我们有 X,(n)=xa (n)xe, (n) (8) 其中q=q/q1,(显然(q1,q=1),及 x(n)=x(n)1(n)=x*(n) (9) 因而有 xo (n)=xg(n)xa(n)=Xg(n)xg. (n) 0 显然,若x令>x,则一定有x←→>x 12.设x(n)为模q的实的原特征,则一定有 P;·p 其中l〓0,2,3,(1≤≤5)为不同的奇素数 附注当q=1时,仅有一个主特征x(n)≡1,有时为方便起见,我们 把它看作为模1的原特征,这样一来,所有的模q的主特征所对应的原特 征就是模L的主特征,而模1的原特征所导出的模q的特征就是模q的主特 征,即 2←>x 以后,我们在引用以上这些概念和性质时,一般就不再特别地 加以指出了 §2. Gauss和 由(1)所定义的Gaus和显然具有下述简单性质 Gx(mi)e Gx(mi), m:=m2 q), (12) GxG-m)=x(-1)Gx(m) (13)
Gx(m)≌x(-1)Gx(m) 当m=0时 GxO=>X( 这已在51性质5中讨论过了,由(13)知我们以后只要讨论m 1的情形 当m=1时我们记 Gx(1)ma (x) (16 即 (x)=∑x(h)e (16) 显然有 (m:)= 当x=2时我们记 G2°(m) (18) 即 h (18) 这就是 Ramanujan和,其中求和号∑表示对模q的简化剩余系 求和,我们显然有 C4(m)=C(1)=(),(m,q)=1 (19) 引理1设x为模q的特征,x;为模;的特征,且满足 q-q1g2,(q1q2=1,x=x1x2, 我们有 Gx(m)w X1(q2)X2(an)Gx, (m)Gx, (m) (20) 证设hh1+q1h2我们有 G(m)-∑x)l(m