D(N) Dena)de 方程 N〓p十P十P3,自,加P≥3 的解数 T(N)= s(a, N)e(Na)da, 其中 s(aN)=∑c(ap) 这样猜想(A)就是要证明:对于偶数N≥6有 D(N)>0 猜想(B)就是要证明:对于奇数N≥9有 T(N)>0 因此, Goldbach猜想就被归结为讨论关系式(3)及(5)中的积分 了.显然,为此就需要研究由(6)所确定的以素数为变数的三角 和。他们猜测三角和(6)有如下的性质:当a和分母“较小”的既 约分数“较近”时,S(a,N)就取“较大”的值;而当a和分母“较大” 的既约分数“接近”时,S(a,N)就取“较小”的值(这里的“较小”、 较大”、“较近”的确切含义将在下面作进一步的说明).进而他们 认为,关系式(3)及(5)中积分的主要部分是在以分母“较小”的 既约分数为中心的一些“小区间”(即那些和它距离“较近”的点组 成的区间)上,而在其余部分上的积分可作为次要部分而忽略.这 就是圆法的主要思想为了实现这一方法,首先就要把积分区间 分为上述的二部分,其次把主要部分上的积分计算出来最后要证 明在次要部分上的积分相对于前者来说可以忽略不计。下面我们 更具体地来加以说明 设Qz为二个正数, 1≤9≤t≤N 考虑 Farcy数列 (a,q)=1,0≤a≤q,9≤Q (10)
并设 e(, a) 十 以及 E1=∪∪E(q,a) 1<￠≤Q而《<q (s, 4) E E (13) 容易证明满足条件 2Q2< (14) 时,所有的小区间E(q,a)是二二不相交的(第六章§1).我们称 E1为基本区间( Major arcs),E2为余区间( Minor arcs).如果一 个既约分数的分母不超过Q,我们就说它的分母是“较小”的,反 之就说是“较大”的,如果两个点之间的距离不超过r-,我们就 说是“较近”的.显然当a∈E1时,它就和一分母“较小”的既约分 数“接近”可以证明(见第六章§1引理2),当a∈E2时,它一定 和一分母“较大”的既约分数“接近”。这样,利用Pars数列就把积 分区间 1 分成了圆法所要求的二部分E1和E23 因而,我们有 D(N) S2(a, Ne(Na)da= D,(N)+D2(N),(15) 其中 D(N)=s(a, N)e(-Na)da,i-1,2; 以及 1)有过亦取E(q,)=1|2- 2)与\是集合的和与差的符号.由于被积函数的周期为1,为方便起见我们把 积分区间01改为[1-# 3)这种方法通常称为Faey分都
T(N) s(a,N)(-Na)da=7(N)+T2(N),(16) 其中 T ( N)=S"(a,N)e(-Na)da 圆法就是要计算出D2(N)及T1(N),并证明它们分别为D(N)及 T(N)的主要项,而D2(N)及T2(N)分别可作为次要项而忽略不 计 Hardy- Littlewood41首先证明了一个重要的假设性结果:如 果存在一个正数0<,使得所有的 Dirichlet L函数的全体零 点都在半平面a≤上,则充分大的奇数一定可以表为三个奇素 数之和,且有渐近公式 7(N)~1e3(N)N2 (17) 其中 同时他们猜测4m,对于偶数N应该有 D(N)~色2(N) N→∞ (19) 其中 s2(N)=2 I (20) p>2 Hardy-Littlewood(4, v还证明了一个假设性结果:如果广义 Riemann猜测成立,那末几乎所有的偶数都能表为二个奇素数之 和,更精确的说若以E(x)表示不超过x且不能表为二个奇素数 之和的偶数个数他们在GRH下证明了 E(x) (21) 其中e为一任意小的正数 可以看出,圆法如果成功的话,是十分强有力的.因为它不但
…:"∴ 证明了猜想的正确性,而且进一步得到了表为奇素数之和的表 法个数的渐近公式,这是至今别的方法都不可能做到的.虽然 Hardy- Littiewood没有证明任何无条件的结果,但是他们所创造的 园法及其初步探索是对研究 Goldbach猜想及解析数论的至为重 要的贡献,为人们指出了一个十分有成功希望的研究方向 1937年, T. Esterman(2证明:每一个充分大的奇数一定可 以表为两个奇素数及一个不超过两个素数的乘积之和 1937年,利用 Hardy-Littlewood圆法,H,M, BHhorpaI终 于以其独创的三角和估计方法无条件地证明了:每一个充分大的 奇数都是三个奇素数之和,且有渐近公式(17)成立。这就基本上 解决了猜想(B),是一个重大的贡献。通常把这一结果称为Gold- bach-BHHorpazo定理简称三素数定理.Page在1935年(见第十 章引理5)及 Siegel在1936年(见第十章引理9)证明了关于L 函数例外零点的两个十分重要的结果,由此可推出相应的算术级 数中紊数分布的重要定理(见第六章§2引理2及53引理7) BHHorpaRoB首先利用这两个结果之一(用任意一个结果都可以) 证明了:对适当选取的Q及r,有 r(N)~1e3N) (22) 见第六章52定理1).而他的主要贡献是在于利用他自己创造 的素变数三角和估计方法,证明了Hard- ittlewood关于三角和 sa,N)性质的猜测。简单地说:他证明了:对适当选取的Q和 x,当a∈E2时有 s(a, N)< 23) log n (见第五章§1).由此容易推出 T2(N) N)|da《 (24) g 这表明相对于T1(N)来说,T2(N)是可以忽略的次要项.这样, 由(16),(22),(24)就证明了三素数定理(见第六章§2,当用Page 的结果时情况要复杂一些,见第六章§3)
M BHHorpaIoBL3k,1创造和发展了一整套估计三角和的方 法,利用他的强有力的方法使解析数论的许多若名问题得到了重 要的成果.他对数论的发展作出了重要贡献, 1938年,华罗庚仰证明了更一般的结果:对任意给定的整数 k,每一个充分大的奇数都可表为p1+P+其中内,Pp3为 奇素数(见第六章§5定理4) 在 BHrorpano的证明中,有一点稍为不调和的地方.他创 造的线性素变数三角和估计方法,从本质上来说是一种筛法。这 样一来,处理基本区间E1上的积分T1(N)用的是分析方法,而处 理余区间E2上的积分T2(N)用的却是初等的非分析方法.为 了消除这种不一致性,就需要用分析方法来得到线性素变数三角 和S(a3N)的估计式(23).1945年,O.B.J提 出了所谓L函数零点密度估计方法,他利用这一方法同样证明了 估计式(23),从而对三素数定理给出了一个有价值的新的完全分 析的证明.J班Hκ的方法在解析数论的许多问题中都有重要应 用.他原来的证明是十分复杂的,后来一些数学家121421进 步简化了JHH的证明(见第四章§1,第五章§2),但也仍然 是利用零点密度估计方法并要用到比较复杂的分析结果.1975 年, Vaughan不用L函数零点密度估计方法,给出了估计式 (23)一个分析证明,但他仍需用到复杂的L函数的四次中值公式 1977年,潘承彪利用L函数的初等性质及简单的复变积分法 对估计式(23)给出了一个新的简单的分析证明(第五章53) 些作者还讨论了有限制条件的三素数定理。例如证明了 充分大的奇数可以表为三个几乎相等的素数之和1:1.吴 方及一些数学工作者还讨论了其它形式的推广 由上所述,圆法对于猜想(B)的研究是极为成功的.而用它 3.2:下::学3 来研究猜想(A)却收效甚微,得不到任何重要的结果.在BO raiOn证明了三素数定理后不久,利用他的思想,一些数学 1)Rif R C. Vaughan(C. R. Acad. Sc. Pa: is, ser. A, 285(1977),981-983) 又给出了一个漂亮的初等证明