(数学模些) 模型4 SIR模型 消去dt d i =hsi-ui =/y ds O S d Sl S= (0)=i,S(0)=S 相轨线L )=(s+)-s+nS 0 S 相轨线i(s)的定义域 D={(s,l)≥0,≥0,s+i≤1} 在D内作相轨线i(S) D 的图形,进行分析
SIR模型 = = − = 0 0 1 1 i i ds s di s s σ 0 0 0 ln 1 ( ) ( ) s s i s s i s σ = + − + = = = − = − 0 0 i ( 0 ) i , s ( 0 ) s si dt ds si i dt di λ λ µ σ = λ/ µ 消去dt D = {( s, i ) s ≥ 0, i ≥ 0, s + i ≤ 1 } 相轨线 i ( s ) 的定义域 相轨线 1 1 s i 0 D 在 D内作相轨线 的图形，进行分析 i ( s ) 模型 4
(数学模些) 模型4相轨线(S)及其分析 SIR模型 nsi-ui O S i(s)=(S0+i0)-s+-ln D s()单调减>相轨线的方向 S=1/σ,i=int→∞.i→0 S2满足S+0-S+-1n=005s1/0 1 S 0 P:S0>1/→0先升后降至0传染病蔓延 P2:50<1/→i(0单调降至0口传染病不蔓延阈值
s i 1 0 1 D 相轨线 i ( s ) 及其分析 = = = − = − 0 0 i ( 0 ) i , s ( 0 ) s si dt ds si i dt di λ λ µ = = − = 0 0 1 1 i i ds s di s s σ 0 0 0 ln 1 ( ) ( ) s s i s s i s σ = + − + ln 0 1 0 0 + 0 − + = ∞ ∞ ∞ s s s s i s σ 满足 m s = 1 / σ , i = i s ( t)单调减 →相轨线的方向 t → ∞, i → 0 P1 ∗ s 1 / σ 0 im ∞ s P3 P4 P2 S0 模型 4 SIR模型 P 1: s 0>1/ → i ( t)先升后降至 0 传染病蔓延 1/ ~ P 阈值 2: s 0<1/ → i ( t)单调降至 0 传染病不蔓延
(数学模些) 模型4预防传染病蔓延的手段SR模型 传染病不蔓延的条件 <1 ·提高阈值J降低(Ad24,↑ a(日接触率→卫生水平个 p(日治愈率)↑→医疗水平↑ 降低50口提高口群体免疫 +0+16=1 a的估 计 ;-+1mnSn=0忽略i Ins-lns
模型4 预防传染病蔓延的手段 SIR模型 传染病不蔓延的条件——s0<1/σ • 提高阈值 1/σ 降低 σ(=λ/µ) λ ↓, µ ↑ λ (日接触率)↓ ⇒ 卫生水平↑ µ(日治愈率)↑ ⇒ 医疗水平↑ • 降低 s0 提高 r0 1 s0 +i0 +r0 = 群体免疫 σ 的估计 ∞ ∞ − − = s s s s 0 0 ln ln ln 0 σ 1 0 0 + 0 − + = ∞ ∞ s s s i s σ 0 忽略 i
(数学模些) 模型4 被传染人数的估计 SIR模型 记被传染人数比例x=S0-S X S+0-S+-n=0 x n(1--)三0 0,S0 x x )三0 x<<s 2 x≈2S 0 F(S O s 1/0 S 0 1/o=6 日x≡2δ提高阈值1/·→降低被 δ小,50 传染人数比例x
模型4 被传染人数的估计 SIR模型 记被传染人数比例 = − ∞ x s s 0 ln(1 ) 0 1 0 + − ≅ s x x σ i 0 ∞ s 1/σ P1 0 s s K i0 ≅0, s0 ≅1 ln 0 1 0 0 + 0 − + = ∞ ∞ s s s i s σ ) 0 2 1 (1 2 0 0 − − ≅ σ s σ x s x x<<s0 ) 1 2 ( 0 0 σ x ≈ s σ s − x ≅ 2δ s0 - 1/σ = δ 提高阈值1/→降低被 传染人数比例 x δ 小, s0 σ ≅1
(数学 5.2经济增长模型 增加生产发展经济增加投资增加劳动力提高技术 建立产值与资金、劳动力之间的关系 研究资金与劳动力的最佳分配,使投资效益最大 ·调节资金与劳动力的增长率,使经济(生产率)增长 1.道格拉斯( Douglas)生产函数 产值1资金K0劳动力L(0 Q(0) 技术f(0)=6 Q()=f0F(K(t),L()P为待定函数
5.2 经济增长模型 增加生产 发展经济 增加投资 增加劳动力 提高技术 • 建立产值与资金、劳动力之间的关系 • 研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大 • 调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率)增长 1. 道格拉斯(Douglas)生产函数 产值 资金 K(t) 劳动力 L(t) Q(t) 技术 f(t) = f0 ( ) ( ( ), ( )) 0 Q t = f F K t L t F为待定函数