(数学模些) 模型2 di =2i(1-) E Logistic模型 i(0) i()= 1+ t =2- In 仁 ta dild最大 m-传染病高潮到来时刻→>∞→i→1? (日接触率→tn个病人可以治愈!
t e i i t − λ + − = 1 1 1 1 ( ) 0 = = − 0 ( 0 ) (1 ) i i i i dt di λ 1/2 tm i i0 1 0 t = − − 1 1 ln 0 1 i t m λ Logistic 模型 模型2 t=tm, di/dt 最大 t → ∞ ⇒ i →1 ? tm~传染病高潮到来时刻 λ (日接触率)↓ → tm↑ 病人可以治愈！
(数学模些) 模型3传染病无免疫性—病人治愈成 为健康人,健康人可再次被感染 SIS模型 增加假设3)病人每天治愈的比例为H~日治愈率 建模N[i(t+△t)-i(1)]=Ns(t)(t)△t-Ni(t)△t di =i(1-i)-i 元~日接触率 dt i(0)= l/y~感染期 O=/ 个感染期内每个病人的有效接触 人数,称为接触数
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染 模型3 SIS 模型 增加假设 3）病人每天治愈的比例为µ µ ~日治愈率 建模 N[i(t + ∆t) − i(t)] = λNs(t)i(t)∆t − µNi(t)∆t = = − − 0 ( 0 ) (1 ) i i i i i dt di λ µ λ ~ 日接触率 1/µ ~感染期 σ = λ / µ σ ~ 一个感染期内每个病人的有效接触 人数，称为接触数
(数学模型 模型3 di =1i(1-1)-o=/, ni-(1 didt O<1 dildt <0 0 0 >1 接触数σ=1~阈值 0 σ≤1→i() 小→1()按S形曲线增长感染期内有效接触感染的 >1 健康者人数不超过病人数 模型2(SI模型)如何看作模型3(SⅠS模型)的特例
≤ − > ∞ = 0 , 1 , 1 1 1 ( ) σ σ i σ )] 1 [ (1 σ = −λi i − − dt di i0 i0 接触数σ =1 ~ 阈值 σ =λ/µ σ ≤1⇒ i(t) ↓ ⇒ i(t)按S形曲线增长 感染期内有效接触感染的 0小 健康者人数不超过病人数 1 i σ > 1-1/σ i0 i i i dt di = λ (1− ) − µ i di/dt 0 1 σ >1 0 t i σ >1 1-1/σ i 0 t σ ≤1 di/dt < 0 模型3 模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
(数学模些) 模型4传染病有免疫性—病人治愈 SIR模型 后即移出感染系统,称移出者 假设1)总人数N不变,病人、健康人和移 出者的比例分别为i(t),S(t),r(t) 2)病人的日接触率λ,日治愈率山 接触数G=/ 建模S(t)+i(t)+r(t)=1 需建立i(t),S(t),r(t)的两个方程
传染病有免疫性——病人治愈 后即移出感染系统，称移出者 模型4 SIR模型 1）总人数N不变，病人、健康人和移 出者的比例分别为 i(t ), s(t ), r (t ) 假设 2）病人的日接触率λ , 日治愈率µ, 接触数 σ = λ / µ 建模 s(t) + i(t) + r(t) = 1 需建立 i(t ), s(t ), r (t ) 的两个方程
(数学模些) 模型4 SIR模型 N[(t+△)-1()]=ANs(t)i()△t-Ni(t)△t Ns(t+△t)-()=-Ns(t)i(t)△t di =2 SI 无法求出(t),s(t) -a si 的解析解 (0)=io,s(0)=so 在相平面s~i上 +1通常P(0)=很小)研究解的性质
模型 4 SIR模型 N [ i ( t + ∆ t ) − i ( t)] = λNs ( t ) i ( t ) ∆ t − µNi ( t ) ∆ t i 0 + s 0 ≈ 1 (通常 r ( 0 ) = r0很小） 无法求出 的解析解 i ( t), s ( t ) 在相平面 上 研究解的性质 s ~ i N [ s ( t + ∆ t ) − s ( t)] = − λNs ( t ) i ( t ) ∆ t = = = − = − 0 0 i ( 0 ) i , s ( 0 ) s si dt ds si i dt di λ λ µ