第八章常微分方程数值解法 51、引言 阶常微分方程的初值问题: f(x,y)a≤x≤b V(Xo=y 例:方程xy-2y=4x→y 2y 令:(x,y)2y+4且给出初值y(1=3 就得到一阶常微分方程的初值问题 =f(x,1) J() 3
第八章 常微分方程数值解法 §1 、引言 0 0 : ( , ) ( ) dy f x y a x b dx y x y = = 一阶常微分方程的初值问题 ' ' : xy -2y=4x y = f(x,y)= y(1)=-3 ( , ) ( ) 2 y 4 x 2 y 4 x dy 2 y f x y 4 dx x y 1 3 + + = = + = − 例 方程 令： 且给出初值 就得到一阶常微分方程的初值问题：
只要函数f(x,y)适当光滑连续,且关于y满足李普 希兹( Lipschitz)条件,即存在常数L,使得 (xy)-(xy)≤L|y-y 由常微分方程理论知,初值问题的解必存在且唯一。 微分方程的数值解:设方程问题的解y(x)的存在区间 是{b,令=xx…<xn=b,其中b=xk+rxg,如是等距 节点h=(b-叫)m,h称为步长。 yax)的解析表达式不容易得到或根本无法得到,我们用数 值方法求得y(在每个节点xk上y(x成)的近似值,用yk表示, yk≈yv(xJ,这样yn,y…n称为微分方程的数值解
( , ) L ( , ) ( , ) f x y f x y f x y L y y − − 只要函数 适当光滑连续，且关于y满足李普 希兹(Lipschitz)条件，即存在常数 ，使得 由常微分方程理论知，初值问题的解必存在且唯一。 微分方程的数值解：设方程问题的解y(x)的存在区间 是[a,b]，令a= x0< x1<…< xn =b,其中hk=xk+1-xk , 如是等距 节点h=(b-a)/n , h称为步长。 y(x)的解析表达式不容易得到或根本无法得到，我们用数 值方法求得y(x)在每个节点xk上y(xk )的近似值，用yk表示， 即yk≈y(xk )，这样y0 , y1 ,...,yn称为微分方程的数值解
微分方程离散化常用方法 A·用差商代替微商 n+ n=f(n,v(n)) xXCn+1-XCn 用h=xm-xn,y≈y(xn)yn12 y(xn)代替,则 yy h fxn,y y=y+hflxm,y)n=0, 1
微分方程离散化常用方法 ( ) ( ) ( ) 1 1 , A ( , ( )) n n n n n n n n y y f x y x x y dy x x dx x x + + − = = − 用差商代替微商 ( ) ( ) ( ) ( , ) 0,1, 2, , , , 1 1 1 1 1 = + = = − = − + + + + + hf n f h h y y y y x y x y y y x x y x y x n n n n n n n n n n n n 用 n n 代替，则：
B.数值积分 用数值积分方法离散化: ∫ f(x,y)Zx(n=0,1,……) Z入x 用vn1,代替ν(xn+1),y(xn),对右端积分采用 取左端点的矩形公式 「f(x,y)dx≈hf(xn,yn) 则有 ynu-yn= hf(n, yn) (n=o,1
1 1 B. : ( , ) ( 0, 1, ) n n n n x x x x dydx f x y dx n dx + + = = 数值积分 用数值积分方法离散化 1 1 1 1 , ( ), ( ), ( , ) ( , ) ( , ) ( 0,1, ) n n n n n n x n n x n n n n y y y x y x f x y dx h f x y y y hf x y n + + + + − = = 用 代替 对右端积分采用 取左端点的矩形公式 则有
C·在x附近y(x)的7 aylor展开 y(,+h)=v(x,)+hy(x)+h y(x,) (x)+M(xn(x)+y1(x)+ f(x,y)a≤x≤b )=y 取h的线性部分,且yn≈y(x)得y(xn)的近似值: ym=y,+hf(xmy n=o, I Taylor展开法不仅可得到求数值解的公式,且容易估计 截断误差
2 / // 2 // C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( , ( )) ( ) 2 n n n n n n n n n y x Taylor y h y h y hf y x h x x x x y y h x x x x y + = + + + = + + + 在 附近 的 展开： 1 1 ( ) ( ) ( , ) 0, 1, 2, n n n n n n n h y y hf n Taylor y x x y y y x + + = + = 取 的线性部分，且 得 的近似值： 展开法不仅可得到求数值解的公式，且容易估计 截断误差。 0 0 ( , ) ( ) dy f x y a x b dx y x y = =