(数学模型 1.道格拉斯( Douglas)生产函数 静态模型Q(K,D)=fF(K,D 每个劳动_Q每个劳动,K 力的产值L 力的投资L 模型假设z随着y的增加而增长,但增长速度递减 z=0/L=fog(y) g(=y, 0<a< Q=foL(K/L) gl) 日Q(K,D)=f6 KL- Douglas生产函数 a0 80 02 0Q OK aL K272<0 含义
1. 道格拉斯(Douglas)生产函数 静态模型 ( , ) ( , ) Q K L = f0F K L 每个劳动 力的产值 L Q z = 每个劳动 力的投资 LK y = 模型假设 z 随着 y 的增加而增长，但增长速度递减 ( ) = , 0 <α <1 α / ( ) g y y 0 z = Q L = f g y α ( / ) Q = f0L K L y g(y) 0 Q(K, L) = f0Kα L1−α Douglas生产函数 , > 0 ∂∂ ∂∂ LQ KQ , 0 2 2 2 2 < ∂∂ ∂∂ LQ KQ 含义？
(数学模型 1. Douglas生产函数9(K,L)=f。KLa Qx~单位资金创造的产值KQK=c,IQL=1-a Q~单位劳动力创造的产值g Ke +le=2 a~资金在产值中的份额1-a~劳动力在产值中的份额 更一般的道格拉斯( Douglas)生产函数 Q(K,L)=fK,0<a,B<12f>0
α −α = 1 0 1. Douglas生产函数 Q(K , L) f K L = α, = 1−α QLQ Q QK KQK L ~ 单位资金创造的产值 QL ~ 单位劳动力创造的产值 KQK + LQL = Q α ~ 资金在产值中的份额 1-α ~劳动力在产值中的份额 更一般的道格拉斯(Douglas)生产函数 Q(K, L) = f0K L , 0 < α, β < 1, f0 > 0 α β
数学模些) 2)资金与劳动力的最佳分配(静态模型) 资金来自贷款,利率r劳动力付工资w 资金和劳动力创造的效益S=Q-K-wL 求资金与劳动力的分配比例K(每个 劳动力占有的资金),使效益S最大 S aS K 0. =0 OK OL W K KQ LO Ok l a C 1-a eL Kl-a w个,r,a个 →KL个
2）资金与劳动力的最佳分配（静态模型） 资金来自贷款，利率 r 劳动力付工资 w 资金和劳动力创造的效益 S = Q − rK − wL 求资金与劳动力的分配比例K/L(每个 劳动力占有的资金) ，使效益S最大 w r Q Q L K 0, = 0 = ∂∂ = ∂∂ LS KS r w L K α α − = 1 =α, =1−α QLQ QKQK L α α− = K 1 L QQLK w ↑, r ↓, α ↑ ⇒ K/L ↑
(数学模 3)经济(生产率)增长的条件(动态模型) 要使Q(或z()=g()L(0增长,K(),L(0应满足的条件 模型·投资增长率与产值成正比AdK 假设(用一定比例扩大再生产)at 1Q,x>0 劳动力相对增长率为常数=LdL()=Le o=flg(y)gy)=y d K y=,K=1y水=124y+my
3) 经济(生产率)增长的条件 (动态模型) 要使 Q(t) 或 Z(t)=Q(t)/L(t) 增长, K(t), L(t)应满足的条件 = λQ, λ > 0 dt 模型 dK 假设 • 投资增长率与产值成正比 (用一定比例扩大再生产) L dt dL = µ t L t L e µ 0 • 劳动力相对增长率为常数 ( ) = α λf Ly dt dK = 0 ( ) 0 Q = f Lg y α g(y) = y Ly dt dy L dt dK K Ly = + µ LK y = , =
(数学模些) d K d,+ uy= fony dt dk dy =L,+uly Bernoul方程 )=/2 a)ut 1=/2=1K1,K。=2Q= y()= fon K 0[1-(1 -(1-a)4t K 0
α λf Ly dt dK = 0 Ly dt dy L dt dK = + µ α µ y f λ y dt dy + = 0 α α α µ µ λ µ λ − − − − = + − 11 1 0 (1 ) 0 0 ( ) ( ) t e f y f y t 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 y K / L , Q f K L , K λQ α α = = = − & 0 0 0 1 0 K K y f & λ α = − Bernoulli方程 α α µ µ µ λ − − − = − − 11 (1 ) 0 0 0 ( ) [1 (1 ) ]t e K f K y t &