81.2复数的三角表示(Therepresentationof complexnumber)、复数的模和辐角（ComplexmodulusandArgument）如图：复数z=x+iy用向量op来表示.向量的长度称为复数z=x+iy的模，记作：x+y；向量与正实轴之间的夹角称为复数z=x+iy的辐角(Argument)，记作：Argz.V.P(x,y)yAxox由于任意非零复数有无限多个辐角，用argz表示符合条件元<argz≤元的一个角，称为复数z=x+iy主辐角（MainArgument），即Argz的主值，于是Argz=argz+2k元k=0.±1±2..此时有日= Argz=-Argz.注4当2=0时辐角无意义，元元当z0时，有如下关系（-元argz≤元<arctan22x6
6 §1.2 复数的三角表示 (The representation of complex number) 一、复数的模和辐角（Complex modulus and Argument） 如图: 复数 z = x + iy 用向量 op 来表示.向量的长度称为复 数 z = x + iy 的模，记作： 2 2 | z |= x + y ； 向量与正实轴之间的夹角称为复数 z = x + iy 的 辐 角 （Argument），记作： Argz . 由于任意非零复数有无限多个辐角，用 arg z 表示符合条件 − arg z 的一个角，称为复数 z = x + iy 主辐角（ Main Argument）.即 Argz 的主值，于是 Argz = arg z + 2k k = 0,1, 2, 此时有 z = z Argz = −Argz . z = zz 2 注 4 当 z = 0 时辐角无意义. 当 z 0 时，有如下关系（ − arg z ， arctan 2 2 y x − ） o x y P(x,y) z = r x y
n,当x>0,y>0;arctanx元当x=0,y>0;Parctan+元，当x<0y≥0；其中_元<arctan"xarg z:2x2Z?0arctan -元,当x<0,<0; x元当x=0,y<0;2'y,当x>0,y<0;arctanx例1求Arg(2-i)及Arg(-3+4i)解Arg(2-2i)=arg(2-2i)+2k元-2 +2k元= arctan 2_元+2k元 (k=0,±1,±2,)4Arg(-3+ 4i) = arg(-3+ 4i)+2k4+2k元+元=arctan-34=(2k+1)元-arctan-(k = 0,±1, ±2,..)3二、复数模的三角不等式（Pluraltriangleinequality）关于两个复数二，与，的和与差的模，有下列不等式(1)/z+z23 /+[z2 /;(2)[z+z, [z /-/=2 ;(3)1,-22=, /+2 /;（4)[2-z2/-122 ll;（5）/Rez=1,/mz=]：（6）[==zz例2设z，z，是两个复数，求证：7
7 例 1 求 Arg(2−i)及Arg(-3+ 4i) 解 二、复数模的三角不等式（Plural triangle inequality） 关于两个复数 1 z 与 2 z 的和与差的模，有下列不等式： （1） | | | | | | 1 2 1 2 z + z z + z ；（2） | | || | | || 1 2 1 2 z + z z − z ； （3） | | | | | | 1 2 1 2 z − z z + z ；（4） | | || | | || 1 2 1 2 z − z z − z ； （5） | Re z || z |,| Im z || z | ；（6） z = zz 2 | | . 例 2 设 1 z ， 2 z 是两个复数，求证： = − − + = = arctan , , ; , , ; arctan , , ; arctan , , ; , , ; arctan , , ; arg 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y z z 当 当 当 当 当 当 2 2 − x y 其中 arctan Arg( ) arg( ) 2 2 2 2 2 − = − + i i k 2k 2 2 arctan + − = 2 ( 0, 1, 2, ) 4 = − + k k = Arg(−3 + 4i) = arg(−3 + 4i) + 2k + + − = 2k 3 4 arctan ( 0, 1, 2, ) 3 4 = (2k +1) − arctan k =
121 -z2 P=I=, 2 +/ =2 /° -2Re(2)=2),证明 1 -22 =(=1 -2,)-2)= -2 -z122 -221 = +2/ -z1z2 -z122= +2/ -2Re(2z)三、复数的三角表示（Representationofcomplexnumbers）1、复数的点表示（PluralPoint）复数z=x+iv对应有序实数对（xy)，另一方面，在平面直角坐标系中点P(x,y)也对应有序实数对(x,y)，因此复数z=x+iy可用点P(x,y)来表示.复数z与点z同义2、复数的向量表示（Complexvectorthat）我们已经知道复数z=x+iy等同于平面中的向量op，所以，复数z=x+iy可用向量op来表示，3、复数的三角表示（Complextrianglethat）设z≠0的复数，复数z的模为r，0是复数=的任意一个辐角，则z=r(cosの+isin 0),上式右端称为复数=的三角表示注5：一个复数的三角表示不是唯一的例3写出复数1+i的三角表示arg(1+i)="，所以解因为+i=V24[(cos +isin )1+i=V2l0°4+4.0
8 | | | | | | 2Re( ), 1 2 2 2 2 1 2 1 2 z − z = z + z − z z 证明 ( )( ) 1 2 1 2 2 1 2 z − z = z − z z − z ( ) 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 z z 2Re z z z z z z z z z z z z z z = + − = − − − = + − − 三、复数的三角表示（Representation of complex numbers） 1、复数的点表示（Plural Point） 复数 z = x + iy 对应有序实数对 (x, y) ，另一方面，在 平面直角 坐标系中点 P(x, y) 也对应有序实数对 (x, y) ，因此复数 z = x + iy 可用 点 P(x, y) 来表示.复数 z 与点 z 同义 2、复数的向量表示（Complex vector that） 我们已经知道复数 z = x + iy 等同于平面中的向量 op ，所以， 复数 z = x + iy 可用向量 op 来表示， 3、复数的三角表示（Complex triangle that） 设 z 0 的复数，复数 z 的模为 r ， 是复数 z 的任意一个辐 角，则 z = r(cos + isin ) , 上式右端称为复数 z 的三角表示. 注 5：一个复数的三角表示不是唯一的 例 3 写出复数 1+i 的三角表示 解 因为 ( ) 4 1 2 arg 1 + i = + i = ，所以 + = + 4 sin 4 1 2 cos i i
也可以表示为9元9元1+i+isincos44例4设z=r(cosQ+isin)求复数-的三角表示NN解因为！==r,三=r(cos-isin )，所以11 _ -(cos0 - isin 0) = I[cos(- 0) + isin(-0)]Z4、复数的指数表示（Saidpluralindex）由欧拉公式e=coso+isin，可得复数z=r(cos0+isin①)的指数表示z=reio例5将复数1-cos+isin (0<≤元)化为指数式?e解1-cos@+isin@=2sin?+2isin gcos2220P2sinsin-icos222?=2sin22?=2sin2四、用复数的三角表示作乘除法（withthecomplextrianglethat make multiplication and division)利用复数的三角表示，我们表示复数的乘法与除法：设=，,是两个非零复数，则有9
9 也可以表示为 + = + 4 9 sin 4 9 1 2 cos i i 例 4 设 z = r(cos + isin ) 求复数 z 1 的三角表示 解 因为 , , (cos sin ) 1 2 z r z r i z z z = = = − ，所以 = ( − ) = cos(− )+ sin (− ) 1 cos sin 1 1 i r i z r 4、复数的指数表示（Said plural index） 由欧拉公式 e cos isin i = + ，可得复数 z = r(cos + isin ) 的指数表示 i z = re 例 5 将复数 化为指数式 解 四、用复数的三角表示作乘除法（With the complex triangle that make multiplication and division） 利用复数的三角表示，我们表示复数的乘法与除法：设 1 z ， 2 z 是两个非零复数，则有 1 0 − + cos sin i ( ) 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin sin sin cos sin sin cos sin cos sin sin i i i i e − − + = + = + = − + − =