分方程。 ②求解方法求解二阶常系数非齐次线性微分方程，一般分为如 下三步： 第一步先求出非齐次线性微分方程y++四=f)所对应的齐 次线性微分方程方程y+四+四=0的通解y; 第二步根据下表设出非齐次线性微分方程y++=fx)的含 待定常数的特解yp,并将yn代入非齐次线性微分方程y+四+=f) 解出待定常数，进而确定非齐次方程y+严+w=f)的一个特解yp: 第三步写出非齐次线性微分方程y+四+=fx)的通解 y=yc+yp. 方程y+四+=fx)的特解y,的形式表 自由项f)的形式 特解的形式的设法 不是特征根 yp=e(x)e f(x)=P(x)e 元是特征单根 yp=xe (x)e 入是二重特征根 yp=x'e(x)e f(x)=P (x)ec cos B ①令1=a+i邙，构造辅助方程 或 y”+py+=Pm(x)e2 f(x)=Pnm(x)e“sinB ②求出辅助方程的特解yp=+必 ③则n是方程y+py+w=(x)特解 2是方程y+四+w=)特解 注：表中的Pm(x)为已知的m次多项式，Qm(x)为待定的m次多项式， 如Q2)=A2+Br+C（A,B,C为待定常数)·
6 分方程. 2 求解方法 求解二阶常系数非齐次线性微分方程, 一般分为如 下三步: 第一步 先求出非齐次线性微分方程 y py qy f (x) 所对应的齐 次线性微分方程方程 y py qy 0的通解 c y ; 第二步 根据下表设出非齐次线性微分方程 y py qy f (x) 的含 待定常数的特解 p y ,并将 p y 代入非齐次线性微分方程 y py qy f (x) 解出待定常数,进而确定非齐次方程 y py qy f (x)的一个特解 p y ; 第三步 写出非齐次线性微分方程 y py qy f (x)的通解 c p y y y . 方程 y py qy f (x)的特解 p y 的形式表 自由项 f (x)的形式 特解的形式的设法 x m f x P x ( ) ( )e 不是特征根 x p m y Q x ( )e 是特征单根 x p m y xQ x ( )e 是二重特征根 x p m y x Q x ( )e 2 ( ) ( )e cos 1 x m f x P x 或 ( ) ( )e sin 2 x m f x P x ① 令 i , 构 造 辅 助 方 程 y py qy = x m P x ( )e ②求出辅助方程的特解 1 2 y y iy p ③则 1y 是方程 y py qy ( ) 1 f x 特解 2y 是方程 y py qy ( ) 2 f x 特解 注: 表中的Pm(x)为已知的m次多项式，Qm(x)为待定的m次多项式， 如Q x Ax Bx C 2 2 ( ) （ A , B , C 为待定常数）
4.二阶线性微分方程解的结构 (1)二阶齐次线性微分方程解的叠加原理 如果函数y和，是齐次线性微分方程的两个解，则函数 y=Cy,+C2y2也是方程y”+p(x)y'+qx)y=0的解；且当y与，线性无关 时，y=Cy+C2y,就是方程的通解（其中C,C,是任意常数)· (2)非齐次线性微分方程解的叠加原理 如果函数yn为非齐次线性微分方程y"+px)y'+q(x)y=f(x)的一个 特解，为齐次线性微分方程y+p(x)y'+q(x)y=0的通解，则y=+yp 为该非齐次线性微分方程的通解. (3)非齐次线性微分方程解的分离定理 如果y是方程y+py+9少=(x)的解，是方程y”+py+q少=(x) 的解，则y=y+⅓，是方程 y"+py'+qv=f(x)+f(x) 的解
7 4. 二阶线性微分方程解的结构 （1）二阶齐次线性微分方程解的叠加原理 如 果 函 数 1 y 和 2 y 是 齐 次 线 性 微 分 方 程 的 两 个 解 ， 则 函 数 1 1 2 2 y C y C y 也是方程 y p(x) y q(x) y 0的解；且当 1 y 与 2 y 线性无关 时， 1 1 2 2 y C y C y 就是方程的通解（其中 1 2 C ,C 是任意常数）. ⑵ 非齐次线性微分方程解的叠加原理 如果函数 p y 为非齐次线性微分方程 y p(x) y q(x) y f (x) 的一个 特解， c y 为齐次线性微分方程 y p(x) y q(x) y 0的通解，则 c p y y y 为该非齐次线性微分方程的通解. ⑶ 非齐次线性微分方程解的分离定理 如果 1 y 是方程 ( ) 1 y py qy f x 的解， 2 y 是方程 ( ) 2 y py qy f x 的解，则 1 2 y y y 是方程 ( ) ( ) 1 2 y py qy f x f x 的解