例对于{d f(x,y),a≤x≤b ,函数f(x,y)是足够次可微的 证明计算公式y1=y1+hf(x1,y)是一阶方法 证设y(x1)=y,把y(x1)在x1处进行泰勒展开,即 y(x)=y(x)+hy(x)+nhy"(),其中5∈(x,x1)…() 由计算公式可得 Vl=yi+hf(x, yi)=y(x,)+ hf(,y(x)) y(x)+hy(x)…(*) CQUPT
CQUPT 例 对于 = = 0 ( ) ( , ), y a y f x y a x b dx dy ，函数 f (x, y)是足够次可微的. 证明计算公式 ( , ) i 1 i i i y = y + hf x y + 是一阶方法. 证 设 i i y(x ) = y ，把 ( ) i+1 y x 在 i x 处进行泰勒展开，即 ( ) 2! 1 ( ) ( ) ( ) 2 i 1 i i i y x + = y x + hy x + h y ，其中 ( , ) i i i+1 x x . 由计算公式可得 ( , ) ( ) ( , ( )) i 1 i i i i i i y = y + hf x y = y x + hf x y x + ( ) ( ) i i = y x + hy x ……(*) ……(**)
y(x)=y(x)+hy(x)+b2y“(5,)…() y1+1=y+hy(x1) 两式相减得局部截断误差为 =(x11)-y+1-2 h2y"( 若y(x)在[ab上充分光滑,且令M=mxy(x),则 x∈[a,b] R h M=och) 故该计算公式是一阶方法 CQUPT
CQUPT 两式相减得局部截断误差为 1 1 1 ( ) i+ = i+ − i+ R y x y ( ) 2 1 2 i = h y 若 y(x) 在[a,b]上充分光滑，且令 max ( ) [ , ] M y x x a b = ，则 ( ) 2 1 2 2 Ri+1 = h M = O h 故该计算公式是一阶方法. ( ) 2! 1 ( ) ( ) ( ) 2 i 1 i i i y x + = y x + hy x + h y ( ) i 1 i i y = y + hy x + ……(*) ……(**)
73欧拉方法 f(x,y),a≤x≤ 、欧拉法原理 y(a)=yo 对初值问题(71),把区间[a,b作n等分: a=x0<x1<…<xn,1<xn=b,则 分点为x=a+i,h=ba(=0,2,…n) 得到数值算法: 欧法 ∫yn1=y+(x,y) (i=0,1,2,…n-1)(73) x CQUPT
CQUPT 7.3 欧拉方法 一、欧拉法原理 对初值问题（7.1），把区间[a,b]作 n 等分： a = x0 x1 xn−1 xn = b ，则 分点为 xi = a +ih ， n b a h − = (i = 0,1,2, n) . = = 0 ( ) ( , ), y a y f x y a x b dx dy ……(7.1) 得到数值算法： = + = + ( ) ( , ) 0 0 1 y y x y y hf x y i i i i (i = 0,1,2, n −1) （7.3） 欧拉法
P P2 I y=y(r) 注:①欧拉方法的几何意义 o 1 >2 欧拉折线方法 ②局部截断误差为 i+1 x)-ya1=h2y"()=Oh2) 一阶方法 精度较差 CQUPT
CQUPT 注：①欧拉方法的几何意义 ② 局部截断误差为 ( ) i+1 = i+1 − i+1 R y x y ( ) ( ) 2 1 2 2 = h y i = O h 欧拉折线方法 一阶方法 精度较差！
f(x,y),a≤x≤ 隐式欧拉法 y(a)=yo 在微分方程离散化时,用向后差商代替导数,即 +1)八D(x, i+1 )-y(x1) X h 得到差分方程: ∫y=y+by( i+15yi+1 (i=0,1,2,…n-1)(77) 隐式歐投法 注:显式公式与隐式公式 CQUPT
CQUPT 二、隐式欧拉法 在微分方程离散化时,用向后差商代替导数，即 h y x y x y x i i i ( ) ( ) ( ) 1 1 − + + . = = 0 ( ) ( , ), y a y f x y a x b dx dy ……(7.1) 得到差分方程： = + = + + + ( ) ( , ) 0 0 1 1 1 y y x y y hf x y i i i i (i = 0,1,2, n −1) （7.7） 隐式欧拉法 注：显式公式与隐式公式