离散化时,若用梯形公式计算右端积分,即 f(r,y(x))dxe lf(x,y(x))+f( 1, y(xD) 并用y,y+1分别代替y(x)和y(x1),则可得到 [f(x12y)+f( x+1,y+1 )(=0,…,n-1) (7.8) 梯形法 梯形公式也是隐式公式它的局部截断误差为 R1=y(x1)-yn1=-,h2y"(2)=O(h CQUPT
CQUPT 离散化时，若用梯形公式计算右端积分，即 + + + + 1 [ ( , ( )) ( , ( ))] 2 ( , ( )) 1 1 i i x x i i i i f x y x f x y x h f x y x dx 并用 1 , i i+ y y 分别代替 ( ) i y x 和 ( ) i+1 y x ，则可得到 [ ( , ) ( , )] 2 i+1 = i + i i + i+1 i+1 f x y f x y h y y 梯形公式也是隐式公式.它的局部截断误差为 ( ) ( ) 12 1 ( ) 3 3 Ri+1 = y xi+1 − yi+1 = − h y = O h 梯形法 (i = 0,1, ,n −1) ……(7.8)
隐式公式一般采用迭代法计算 向后欧拉法的迭代格式为 =y2+hf(x,2y;) (k=0,1,2,…) lyi+t=y,+hf(xi+1,Ji+)) 梯形法的迭代格式为 i+1 y (k=0,1,2,…) y4)=y2+=[f(x,y)+f(x1,y6) CQUPT
CQUPT 隐式公式一般采用迭代法计算. 向后欧拉法的迭代格式为 = + = + + + + + + ( , ) ( , ) ( ) 1 1 ( 1) 1 (0) 1 k i i i k i i i i i y y hf x y y y hf x y (k = 0,1,2, ) 梯形法的迭代格式为 = + + = + + + + + + [ ( , ) ( , )] 2 ( , ) ( ) 1 1 ( 1) 1 (0) 1 k i i i i i k i i i i i f x y f x y h y y y y hf x y (k = 0,1,2, )
例73用欧拉法、向后欧拉法和梯形法求解初值问题: 0.9y0≤x≤0.1 1+2x (取步长h=0.02) y(0)=1 并与精确解y=(1+2x)045作比较 解依题意,xn=0.02n(n=0,l,…5),y=1. 由欧拉法,有 0.018 yml=ym-09h 1+2x 1+2x CQUPT
CQUPT 例 7.3 用欧拉法、向后欧拉法和梯形法求解初值问题： = + = − (0) 1 , 0 0.1 1 2 0.9 y x x y y (取步长h = 0.02 ) 并与精确解 0.45 (1 2 ) − y = + x 作比较. 解 依题意， x = 0.02n (n = 0,1, ,5) n ， y0 = 1. 由欧拉法,有 n n n n x y y y h 1 2 1 0.9 + + = − n n n x y y 1 2 0.018 + = −
由向后欧拉法,有 yn=yn-09、yn →m=们1+09h 0.018 )=yn/(1+ 1+2xn+1 1+2xn+1 1+2x 0.thy 由梯形法,有yn=y21+2xn1+2x) 0.9h 0.9h 可解得yn=yn[1 1+ 2(1+2xn)2(1+2x CQUPT
CQUPT 由向后欧拉法,有 1 1 1 1 2 0.9 + + + + = − n n n n x y y y h 由梯形法，有 ) 1 2 1 2 ( 2 0.9 1 1 1 + + + + + + = − n n n n n n x y x h y y y 可解得 ] 2(1 2 ) 0.9 ]/[1 2(1 2 ) 0.9 [1 1 1 + + + + + = − n n n n x h x h y y ) 1 2 0.018 ) /(1 1 2 0.9 /(1 1 1 1 + + + + = + + = + n n n n n x y x h y y