72离散变量法 f(x,y)2a≤x≤b 、差商代替导数法 y(a)=yo (7.1) 建立数值解法,首先要将微分方程离散化 三种离散化方法:差商代替导数法,数值积分法和泰勒展开法 在问题(71)中,若用向前差商 y(x+1)-y(x 代替y(x1),则得 h y(x+1)-y(x ≈f(x12y1(x1))(n=0,1,…,n-1) h y(x)用其 LVi+1=yi+hf(xi, yi) 近似值y代替 y(x0) 差分 方法 CQUPT
CQUPT 7.2 离散变量法 建立数值解法，首先要将微分方程离散化. 三种离散化方法:差商代替导数法，数值积分法和泰勒展开法. 在问题(7.1)中，若用向前差商 h y x y x i i ( ) ( ) +1 − 代替 ( ) i y x ,则得 ( , ( )) ( 0,1, , 1) ( ) ( ) 1 = − + − f x y x n n h y x y x i i i i i 一、差商代替导数法 = = 0 ( ) ( , ), y a y f x y a x b dx dy ……(7.1) ( ) i y x 用其 近似值 i y 代替 ( 0,1, , 1) ( ) ( , ) 0 0 1 = − = + = + i n y y x y y h f x y i i i i 差分 方法
f(x,y)2a≤x≤b 数值积分法 y(a)=yo (7.1) 对微分方程在区间[x12x]上积分,可得 y(x1+1)-y(x)=f(x,y(x))dx(i=0,1 若对右端积分使用数值积分公式,则可得到 解初值问题(7.1)的数值方法 利用左矩形公式 Vi+1=yi+hf(i,yi) (i=0 yo=y(no CQUPT
CQUPT 对微分方程在区间[ , ] i i+1 x x 上积分，可得 ( ) ( ) ( , ( ) ) ( 0,1, , 1) 1 1 − = = − + y x + y x f x y x d x i n i i x x i i 二、数值积分法 = = 0 ( ) ( , ), y a y f x y a x b dx dy ……(7.1) 若对右端积分使用数值积分公式,则可得到 解初值问题(7.1)的数值方法. ( 0,1, , 1) ( ) ( , ) 0 0 1 = − = + = + i n y y x y y h f x y 利用左矩形公式 i i i i
f(x,y)2a≤x≤b 、泰勒展开法 y(a)=yo (7.1) 设初值问题(71)满足定理7.1的条件,且函数八(xy)是足够次可微的 泰勒展开 0,l(x+h)=y(x)+p(x,y,h)+ p+1,、(p+1) (2)(7 其中Φ(x,y,h)=f(x,y(x)+bf(x,y(x)++-hp-f(p-)(x,y(x) 取x=x,并截去最后一项,得到离散化公式 y1=y1+hc(x1,y(x,),h)(.) CQUPT
CQUPT 设初值问题（7.1）满足定理 7.1 的条件,且函数 f(x,y)是足够次可微的. 三、泰勒展开法 = = 0 ( ) ( , ), y a y f x y a x b dx dy ……(7.1) ( ) ( 1)! 1 ( ) ( ) ( , , ) 1 ( 1) + + + + = + + p p h y p y x h y x h x y h (7.4) 其中 ( , ( ) ) ! 1 ( , ( ) ) ... 2! 1 ( , , ) ( , ( ) ) 1 ( 1) h f x y x p x y h f x y x hf x y x p− p− = + + + . 取 i x = x ,并截去最后一项，得到离散化公式 ( , ( ), ) yi+1 = yi + h xi y xi h （7.5） 泰勒展开
误差合 定义7.』假设y1=y(x)为准确值,考虑计算下一步所产生的误差, 即用某种数值算法计算y(x1)所产生的误差R1=y(x1)-yn1 称为该数值算法的局部截断误差 定义7.2考虑用某种数值算法计算时,因前面的计算不准确而引起的 准确解y(x)与数值解y的误差e1=y(x)-y 称为该数值算法在节点x处的整体截断误差 CQUPT
CQUPT 定义 7.1 假设 ( ) i i y = y x 为准确值，考虑计算下一步所产生的误差, 即用某种数值算法计算 ( ) i+1 y x 所产生的误差 ( ) i+1 = i+1 − i+1 R y x y 称为该数值算法的局部截断误差. 误差概念 定义 7.2 考虑用某种数值算法计算时，因前面的计算不准确而引起的 准确解 ( ) i y x 与数值解 i y 的误差 i i i e = y(x ) − y 称为该数值算法在节点 i x 处的整体截断误差
定义73如果某个数值解法的局部截断误差为O(h+),则 称该算法为p阶算法(P阶精度) 当步长h<1时,p越大,则局部截断误差越小,计算精度就越高. CQUPT
CQUPT 定义 7.3 如果某个数值解法的局部截断误差为 ( ) p+1 O h ,则 称该算法为 p 阶算法( p 阶精度). 当步长 h 1时, p 越大,则局部截断误差越小,计算精度就越高