理论力 第十五章世原
第十五章虚位移原理 §15-1约束·虚位移·虚功 §15-2虚位移原理
2 §15–1 约束 • 虚位移 • 虚功 §15–2 虚位移原理 第十五章 虚位移原理
动力学 在这本章,将个绍普遍适用于研究任意质点系的平衡问题的一个原理,它 应用功的概念分析系统的平衡问题。从位移和功的概念出发,得出在意质 点系的平衡条件。该原理川做虚位移原理 它是研究衡问葱的最一般的原理,是解决静力学平衡问题的另一途径; 不仅如此,将它与达朗伯原理相结合,组成了动力学普遍方程,为求解复 杂系统的动力学问题提供了另一种普遍方法,构成了分析力学的基础。 §15-1约束·虚位移·虚功 例如: A(A,YA) B(xB, YR) M(x,y) 曲柄连杆机构 平面单摆 t ya x+ B xA)2+ 12 B B
3 在这本章，将介绍普遍适用于研究任意质点系的平衡问题的一个原理，它 应用功的概念分析系统的平衡问题。从位移和功的概念出发，得出任意质 点系的平衡条件。该原理叫做虚位移原理。 它是研究平衡问题的最一般的原理，是解决静力学平衡问题的另一途径； 不仅如此，将它与达朗伯原理相结合，组成了动力学普遍方程，为求解复 杂系统的动力学问题提供了另一种普遍方法，构成了分析力学的基础。 §15-1 约束 • 虚位移 • 虚功 平面单摆 2 2 2 x + y = l 例如： 曲柄连杆机构 2 2 2 x y r A + A = ( ) ( ) , 0 2 2 2 xB − xA + yB − yA = l yB =
1.约束及其分类 为研究方便,对静力学中约束概念重新定义,即限制质点或质 点系运动的各种条件称为约束。表示这些限制条件的数学方程 称为约束方程。下面从不同角度对约束分类。 (xy”,z)=0 (1)几何约束和运动约束 限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称 为几何约束。如前述的平面单摆和曲柄连杆机 构中的限制条件都是几何约束 又如图3,质点M在固定曲面上运动,其曲面 图3 方程就是该质点的约束方程,即 f(x,y,=z)=0 当约束对质点或质点系的运动情况进行限制 时,这种约束条件称为运动约束。如图4,车 轮作纯滚动 几何约束y4=r 运动约束v4-r=0或1-rp=0 图4
4 （1）几何约束和运动约束 当约束对质点或质点系的运动情况进行限制 时，这种约束条件称为运动约束。如图4，车 轮作纯滚动。 1．约束及其分类 为研究方便，对静力学中约束概念重新定义，即限制质点或质 点系运动的各种条件称为约束。表示这些限制条件的数学方程 称为约束方程。下面从不同角度对约束分类。 又如图3，质点M在固定曲面上运动，其曲面 方程就是该质点的约束方程，即 f (x, y,z) = o 图3 图4 限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称 为几何约束。如前述的平面单摆和曲柄连杆机 构中的限制条件都是几何约束。 几何约束 运动约束 y r A = vA − r = 0或x A − r = 0
(2)定常约束和非定常约束 当约束条件与时间有关,并随时间变化时,这 类约束称为非定常约束 如图,重物M由一条穿过固定圆环的细绳系住。M 初始时摆长l,匀速y拉动绳子。约束方程为③ 该方程中显含时间t 约束条件不随时间改变的约束为定常约束。定常约束方程中不 显含时间,前面的例子中约束条件都是定常约束。 (3)其他约束 若约束方程中含有坐标对时间的导数(例如运动约束),而且方 程不可能积分为有限形式,即约束方程中含有的坐标导数项不是 某一函数全微分,这类约束称为非完整约束。一般非完整约束方 程只能以微分形式表达。反之,若约束方程中不包含坐标对时间 的导数,或者约束方程中的微分项可以积分为有限形式,这类约 束称为完整约束。例如上述做纯滚动的车轮的约束就是完整约束
5 当约束条件与时间有关，并随时间变化时，这 类约束称为非定常约束。 如图，重物M由一条穿过固定圆环的细绳系住。 初始时摆长 l0 , 匀速v拉动绳子。约束方程为 （2）定常约束和非定常约束 约束条件不随时间改变的约束为定常约束。定常约束方程中不 显含时间，前面的例子中约束条件都是定常约束。 2 0 2 2 x + y = (l −vt) 该方程中显含时间t （3）其他约束 若约束方程中含有坐标对时间的导数（例如运动约束），而且方 程不可能积分为有限形式，即约束方程中含有的坐标导数项不是 某一函数全微分，这类约束称为非完整约束。一般非完整约束方 程只能以微分形式表达。反之，若约束方程中不包含坐标对时间 的导数，或者约束方程中的微分项可以积分为有限形式，这类约 束称为完整约束。例如上述做纯滚动的车轮的约束就是完整约束