理论力学
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第十二章动量矩定理 §12-1质点和质点系的动量矩 §12-2动量矩定理 §12-3刚体绕定轴的转动微分方程 §12-4刚体对轴的转动惯量 d§12-5质点系相对于质心的动量矩定理 §126刚体的平面运动微分方程 习题课
2 §12–1 质点和质点系的动量矩 §12–2 动量矩定理 §12–3 刚体绕定轴的转动微分方程 §12–4 刚体对轴的转动惯量 §12–5 质点系相对于质心的动量矩定理 §12–6 刚体的平面运动微分方程 *习题课 第十二章 动量矩定理
动力学 前一章知,当质心为固定物上一点时,v=0,其动量恒为零, 质心无运动,但质点系确受外力的作用。动量定理揭示了质点和 质点系动量变化与外力主矢的关系;质心运动定理揭示了质心运 动与外力主矢的关系。但不是质点系机械运动的全貌 本章要介绍的动量矩定理,动量矩定理建立了质点和质点系相 对于某固定点(国定物)的动量矩的改变与外力称同一点(轴) 之矩两者之间的关系,从另一个侧面揭示出质点系对于某一点的 运动规律 §12-1质点和质点系的动量矩 1.质点的动量矩 设质点Q某瞬时动量为mν,其对O点的位置为矢径r,如图12-1 所示,定义质点Q的动量对于O点的矩为质点对点O的动量矩; 定义指点动量m在Ox平面的投影(m)3对于点O的矩,为质 点动量对于z轴的矩,简称对于z轴的动量矩。分别表示如下
3 由前一章知，当质心为固定轴上一点时，vC=0，其动量恒为零， 质心无运动，但质点系确受外力的作用。动量定理揭示了质点和 质点系动量变化与外力主矢的关系；质心运动定理揭示了质心运 动与外力主矢的关系。但不是质点系机械运动的全貌。 本章要介绍的动量矩定理，动量矩定理建立了质点和质点系相 对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外力对同一点（轴） 之矩两者之间的关系，从另一个侧面揭示出质点系对于某一点的 运动规律 §12-1 质点和质点系的动量矩 1．质点的动量矩 设质点Q某瞬时动量为 mv，其对O点的位置为矢径r，如图12-1 所示，定义质点Q的动量对于O点的矩为质点对点O的动量矩； 定义指点动量mv在Oxy平面的投影（mv)xy对于点O的矩，为质 点动量对于z轴的矩，简称对于z轴的动量矩。分别表示如下
Mo(mv)=r×m (12-1) 2(m1 [M。(m)]=M(m)(122) mo(mv) 从图可以看出,质点对于O点的 动量矩矢在轴上的投影,等于对 z轴的动量矩。即上面的式(12-2) 正负号规定与力对轴矩的规定相同 对着轴看:顺时针为负,逆时针为正 动量矩)量物体在在一瞬时绕固定点(轴转动的强弱。单位:kgm2s 2.质点系的动量矩 质点系对点O动量矩等于各质点对同一点O的动量矩的矢量和, 或者称为质点系对点O的主矩,即 ∑Ma 12-3)
4 质点系对点O动量矩等于各质点对同一点O的动量矩的矢量和， 或者称为质点系对点O的主矩，即 MO (mv) = r mv M (mv) M (mv) o z = z 正负号规定与力对轴矩的规定相同 对着轴看：顺时针为负，逆时针为正 ( ) 1 i i n i LO Mo m v = = 动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。单位：kg·ｍ2 /s。 （12-1） （12-2） 从图可以看出，质点对于O点的 动量矩矢在z轴上的投影，等于对 z轴的动量矩。即上面的式（12-2） 2．质点系的动量矩 （12-3）
动力学 质点系对某轴z的动量矩等于各质点对同一轴z动量矩的代数 和,即 ∑M!(mn") (124) 利用式(12-2),得[Lol=L (12-5) 上式表明:质点系对某点0O的动量矩矢在通过该点的轴上的投影等于质点系对于该 轴的动量矩。 刚体平动时,可把质量集中于质点,作为一个质点计算其动量 矩;刚体作定轴转动则如图12-2所示: ∑M!mn)=∑m=∑ 1,01=m2 令∑mn2=小称为刚体对轴的转动惯量,于是有 即绕定轴转动刚体对其转轴的动量 (12-6)矩等于刚体对转轴的转动惯量与转 动角速度的乘积 图12-25
5 刚体平动时，可把质量集中于质点，作为一个质点计算其动量 矩；刚体作定轴转动则如图12-2所示： 质点系对某轴z的动量矩等于各质点对同一轴z动量矩的代数 和，即 ( ) 1 i i n i Lz M z m v = = （12-4） 利用式（12-2），得 LO z = Lz （12-5） 上式表明：质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的z轴上的投影等于质点系对于该 轴的动量矩。 = = = = = = = = n i i i n i i i i i n i i i i i i n i z z L M m m v r m rr m r 1 2 1 1 1 ( v ) 令 z 称为刚体对z轴的转动惯量，于是有 n i i i m r = J =1 2 Lz = J z （12-6） 即绕定轴转动刚体对其转轴的动量 矩等于刚体对转轴的转动惯量与转 动角速度的乘积 图12-2