理论力学
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牛顿力学研究的主要内容在于确定物体运动与相互作用之 间的关系,前面用矢量形式建立了质点系动力学普遍定理 (动量定理、动量矩定理和动能定理),这种处理动力学 问题的方法和体系称为“矢量力学”,它形式简单,概念 清晰,但由于矢量力学要求事先对系统中个质点的受力情 况进行分析,所以在研究求解具有复杂约束系统和变形体 的动力学问题方面会遇到很大困难。 本章针对矢量力学所遇到的困难,采用分析数学的方法来 求解动力学问题,它利用能量和功来描述物体运动与相互 作用之间的关系,在达朗伯原理和虚位移原理的基础上, 导出动力学普遍方程和拉格朗日第二类方程(简称拉格朗 日方程)。成为研究动力学问题的有力手段,在解决非自 由质点系的动力学问题时,显得十分简捷、规范
2 牛顿力学研究的主要内容在于确定物体运动与相互作用之 间的关系，前面用矢量形式建立了质点系动力学普遍定理 （动量定理、动量矩定理和动能定理），这种处理动力学 问题的方法和体系称为“矢量力学”，它形式简单，概念 清晰，但由于矢量力学要求事先对系统中个质点的受力情 况进行分析，所以在研究求解具有复杂约束系统和变形体 的动力学问题方面会遇到很大困难。 本章针对矢量力学所遇到的困难，采用分析数学的方法来 求解动力学问题，它利用能量和功来描述物体运动与相互 作用之间的关系，在达朗伯原理和虚位移原理的基础上， 导出动力学普遍方程和拉格朗日第二类方程（简称拉格朗 日方程）。成为研究动力学问题的有力手段，在解决非自 由质点系的动力学问题时，显得十分简捷、规范
第十八章分析力学基础 §18-1自由度和广义坐标 §18-2以广义坐标表示的质点系平衡条件 §18-3动力学普遍方程 §184第一类拉格朗日方程 §185第二类拉格朗日方程 §18-5拉格朗日方程的初积分
3 §18–1 自由度和广义坐标 §18–2 以广义坐标表示的质点系平衡条件 §18–3 动力学普遍方程 §18–4 第一类拉格朗日方程 §18–5 第二类拉格朗日方程 §18–5 拉格朗日方程的初积分 第十八章 分析力学基础
物力单 §18-1自由度和广义坐标 个自由质点在空间的位置由x,yz3个坐标可以确定3个,我们 说该自由质点有3个自由度。一般质点运动会受到约束限制,则 其自由度数会减少,在完整约束条件下,确定质点系位置的独立 参数的数目等于系统的自由度数。 f(a,y,z)=0 例如:一质点M限制在球面的上半部运动,则 (x-a)2+(y-b)2+(2-c)2=R (18-1) z▲ =c+√R2-(x-a)2+(y-b)2 (18-2) 故该质点在空间的位置由xy就可确定,其自由度数为2。 般讲,一个由n个质点组成的质点系,若受到个完整约束作 用,则其在空间的位置可由N=3n-s个坐标完全确定下来,我们 把描述质点系在空间中位置的独立参数,称为广义坐标。对完 整系统,广义坐标数目等于系统的自由度树
4 §18-1 自由度和广义坐标 一个自由质点在空间的位置由 x, y, z3个坐标可以确定3个，我们 说该自由质点有3个自由度。一般质点运动会受到约束限制，则 其自由度数会减少，在完整约束条件下，确定质点系位置的独立 参数的数目等于系统的自由度数。 例如：一质点M限制在球面的上半部运动，则 k = 3n− s 一般讲，一个由n个质点组成的质点系，若受到s个完整约束作 用，则其在空间的位置可由N=3n-s个坐标完全确定下来，我们 把描述质点系在空间中位置的独立参数，称为广义坐标。对完 整系统，广义坐标数目等于系统的自由度树。 ( ) ( ) (18 2) ( ) ( ) ( ) (18 1) 2 2 2 2 2 2 2 = + − − + − − − + − + − = − z c R x a y b x a y b z c R 故该质点在空间的位置由x,y就可确定，其自由度数为2
如上面的质点M的位置由x,y确定,则,xy是其一组广义坐标, 此外,我们可以选取其它的一组独立参量来表达其位置: 5+n5- 5+n 22=c+1R2-( 5- 6 2 2 上式说明广义坐标的选择并不是唯一的。考虑n个质点组成的系 统受到s个完整双侧约束 k(,2,…n,)=0 (k=1,23,…,s) (18-3) 设q12q2,…qn(N=3n-s)为系统的一组广义坐标,我们可以将各 质点的坐标表示为 r(q④1,q2,…,qN,D)=0 (i=1,2,3,…,H) (18-4) 由虚位移的定义,对上式进行变分运算,得到 Sr ∑ ori sgK 1.2.3 (18-5) k 其中8q(k=12,3,…N)为广义坐标q的变分,称为广义虚位移
5 如上面的质点M的位置由x,y确定，则，x,y就是其一组广义坐标， 此外，我们可以选取其它的一组独立参量来表达其位置： 2 2 2 ) 2 ) ( 2 , ( 2 , 2 x x z c R a −b − − − + = + − − = + = 上式说明广义坐标的选择并不是唯一的。考虑n个质点组成的系 统受到s个完整双侧约束 ( , , , , ) 0 ( 1,2,3, , ) 1 2 f t k s k r r rn = = （18-3） 设 为系统的一组广义坐标，我们可以将各 质点的坐标表示为 , , , ( 3 ) 1 2 q q q N n s n = − ( , , , , ) 0 ( 1,2,3, , ) ri = ri q1 q2 qN t = i = n （18-4） 由虚位移的定义，对上式进行变分运算，得到 ( 1,2,3, , ) 1 q i n q N k k i i = = = r r （18-5） 其中 q (k =1,2,3, ,N) 为广义坐标qk的变分，称为广义虚位移