定义3.8若号是一个随机变量，又E(-E)2存 在，则称E(5-E)2是随机变量的方差，记作D号或 ar5,并称√D5是号的根方差或标准差。 如果的密度丞数为p(,则由前述的，有 D5-E(5-E5)2=(-E)2p(x)k =[x2-2x·E5+(E5)2]px)dk
=x2p(x)d-2E5. xp(x)dx +(E)2 =c52-E5)2 (3.69) 这一关系也是意料中的。因为它与离散型情形完全相同。 例3.21（略） 例3.22（略） 例3.23（略） 由定义我们不难知道，正态分布中的参数口，正好是 服从该分布的随机变量的标准差，于是正态分布由它的数学
期望及标准差唯一确定。 我们知道方差反映了随机变量离开数学期望的平均偏 离程度.如果随机变量为5，数学期望为E号，方差为D， 那么对任意的大于零的常数￡，事件(|-E5|≥￡)发 生的概率P|5-E|≥)应该与D有-定的关系。粗 糙地说，如果D5愈大，那么P(|-E5|≥￡)也会大一 些，把这个直觉严格化，就是下面著名的契贝晓夫不等式， 我们把它写成定理的形式
定理3.4对任意的随机变量5，若E号=，又D5 存在，则对任意的正常数￡，有 PI5-E51≥6)sD5 (3.71) 在契贝晓夫不等式给出的估计中，只需要知道数学期望E 及方差D号两个数字特征就够了，因而使用起来是此较方便 的。但是也正因为它没有完整地用到随机变量的统计规律一 分布函数或密度函数，所以一般来说，它给出的估计是比较 粗的。例如，若5是机4，G)分布的随机变量，则由不等
式(3.71)可得估计 P|5-a≥3o)≤ D5-1 0.11 (3)29 而的§3.2的(3.71)已经指出 P(|5-a≤3o0.997 故有 P|号-a≥3030.003 比较这两者的结果，可知契贝晓夫不等式给出的估计的确是 粗糙一些。利用契贝晓夫不等式可以证明下列事实：随机变