2、函数值的误差估计当自变量有误差时计算函数值也会产生误差，其误差限可利用函数的泰勒展开式进行估计(x)- f(x)= (x)(x-x)+ ["((x-x)（5介于x与x之间）2["(3)]F(x)- f(x")≤|F'(x) e(x)+e"(x")2忽略ε(x*)的高阶项，可得计算函数的误差限ε(f(x) ~f(x)s(x*)附：泰勒公式若函数f(x)在闭区间a，b上有定义，且有一直到n阶的连续导数，当u<x<b时有有限导数r(n+1)(x)，则F(x)=()(x-a)*+R,(x)(a≤x≤b)K!k=0上页1式中f(n+1)(5)(x-a)n+1R,(x)=(a<<b)下页(n +1)!返圆
上页 下页 返回 ( )( ) ( ) ( 1) ! 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ! 1 ( ) ( ) ( ) [ ] ( 1) 1 0 ( ) ( 1) f x a a b n R x f x a R x a x b k f x n a x b f x f x a b n n n n n k k k n 式 中 阶的连续导数，当 时有有限导数 ， 则 附：泰勒公式 若函数 在闭区间 ， 上有定义，且有一直到 2、函数值的误差估计 当自变量有误差时计算函数值也会产生误差，其误差限可 利用函数的泰勒展开式进行估计. ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) * * * * * * * 2 * * * * * 2 * f x f x x x x f f x f x f x x x x x x f f x f x f x x x 忽 略 的高阶项，可得计算函数的误差限 介 于 与 之 间
当f为多元函数时，若=f(xj,X2,…x,)，而x,X2,…x,的近似值为x,xz,...x,则A的近似值为A"=f(xi,xz,…x,)，于是函数值A*的误差e(A*)为e(A")= A*-A= f(x,,...,x,)-f(xi,...,x,.)a f(xi,...xn(c-x)-~(%)2(2axk[%]于是误差限(A) :8(x);~而A的相对误差限为SA[上页8, =8,(A)下页返回
上页 下页 返回 值 的误差 为 似值为 ， 则 的近似值为 ，于是函数 当 为多元函数时，若 ， 而 的 近 ( ) , , ( , , ) ( , , ) , , * * * * 2 * 1 * * * 2 * 1 1 2 1 2 A e A x x x A A f x x x f A f x x x x x x n n n n * * 1 * * * * * * 1 * * * * 1 1 * * * 1 1 * * 1 * * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( , , ) A x x f A A A A x x f A e x f x x x f x x e A A A f x x f x x k n k k r r k n k k k n k k n k k k k n n n 而 的相对误差限为 于是误差限 ；
例6：已测得某场地长l的值为=110m，宽d的值*-l≤0.2m，d*-d≤0.1m。为d=80m已知试求面积s=ld的绝对误差限与相对误差限。由公式可知解:因 s=ld，==d,(s) ~%(1)+%e(d)%=d=80m其中%= l =110m而ε(d) = 0.1mε(l) = 0.2m于是绝对误差限s(s*）~80×0.2+110×0.1=27(m2）27e(s*)e(s*= 0.31%相对误差限 ε,(s)=上页2I*d*5*8800下页返圆
上页 下页 返回 例6：已测得某场地长 的值为 ，宽 的值 为 已知 ， 。 试求面积 的绝对误差限与相对误差限。 l l 110m d l l 0.2m * d 80m d d 0.1m * s ld 解: 因 s ld ， ， d ， l s l d s (s) (l) (d) d s l s 其中 s l d 80m d s l 110m 由公式可知 ( ) 8 0 0.2 110 0.1 2 7( ) 2 s m 于是绝对误差限 而 (l) 0.2m (d) 0.1m 0.3 1% 8800 ( ) ( ) 2 7 ( ) l d s s s s r 相对误差限