4.3循环、奇循环与偶循环 5126 296 32 284 p=(227143317953)42840464925137) (62915830412111(1031163443223719 (1232424724384523)(1835) (203644485051263952) p°=e 2阶循环叫做对换
4.3循环、奇循环与偶循环 51 26 . . .5 3 3 2 1 1 52 52 . . .29 6 28 4 27 2 p = (2 27 14 33 17 9 5 3)(4 28 40 46 49 25 13 7) (6 29 15 8 30 41 21 11)(10 31 16 34 43 22 37 19) (12 32 42 47 24 38 45 23)(18 35) (20 36 44 48 50 51 26 39)(52) p = e 2阶循环叫做对换。 8
4.3循环、奇循环与偶循环 定理任一循环都可以表示为对换的积 (12.n)=(12)(13)(1n)=(23)(24).(2n)(21) 表示不唯一。gn(P)∈{1,-1} p ip (1)sgn(p)全 (2)sgn(pa)=sgn(p)sgn(q) (3)gn(Gi+1)-1;p=(〔i+1) (4)sgn(1k)-1奇数个邻位对换。 故任一置换表示成对换的个数的奇偶性是唯 的置换分成两大类:奇置换与偶置换。循环长 度减1的奇偶性即置换奇偶性
4.3循环、奇循环与偶循环 • 定理 任一循环都可以表示为对换的积。 (1 2 …n)=(1 2)(1 3)…(1 n)=(2 3)(2 4)…(2 n)(2 1) 表示不唯一。sgn(p)∈{1,-1}. (1)sgn(p) ∏ (2)sgn(pq)=sgn(p)sgn(q) (3)sgn((i,i+1))=-1, p=(i,i+1) (4)sgn((l k))=-1 奇数个邻位对换。 故任一置换表示成对换的个数的奇偶性是唯一 的置换分成两大类：奇置换与偶置换。循环长 度减1的奇偶性即置换奇偶性。 △ = i - j i-j p p i>j
4.3循环、奇循环与偶循环 例0表示空格,任一变动都是与0做相邻 的对换。 p=(0(115)(214)(313)(412)(511)(610)(79)(8 奇置换。0从右下角出发回到右下角,水平方 向上,垂直方向上都做了偶数次对换。一个奇 置换不会等于一个偶置换。 34 154132 5678 11098 1415|0
4.3循环、奇循环与偶循环 • 例 0表示空格，任一变动都是与0做相邻 的对换。 p=(0)(1 15)(2 14)(3 13)(4 12)(5 11)(6 10)(7 9)(8) 奇置换。0从右下角出发回到右下角，水平方 向上，垂直方向上都做了偶数次对换。一个奇 置换不会等于一个偶置换。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
4.3循环、奇循环与偶循环 定理Sn中所有偶置换构成一阶为(n!)/2 的子群称为交错群,记做An 证(1)封闭性 (2)单位元 (3)逆元(ik)=(ik) 设p=(i1j)i2j2)(ij),则p=(Gij).(inj) 令Bn=Sn-An,Bn+An=n! 则(ij)Bn包含于AnBn≤An, (ij)Bn包含于An|AnBn An=Bn=(n!/2
4.3循环、奇循环与偶循环 • 定理 Sn中所有偶置换构成一阶为(n!)/2 的子群称为交错群，记做An. 证 (1)封闭性 (2)单位元 (3)逆元 (i k) = (i k) 设 p = (i1 j1)(i2 j2)…(ii ji),则p = (ii ji)…(i1 j1) 令Bn=Sn-An, |Bn|+|An|=n!, 则(i j) Bn包含于An |Bn|≤|An|， (i j) Bn包含于An |An|≤|Bn| ∴|An|=|Bn|=(n!)/2 -1
4.4 Burnside引理 1)共轭 先观察S3,A3,S4,A4,以增加感性认识 S=(1)2)3)23(13)(12)(123)(132/° A3={(1)(2)3)(123)(132)} S4={(1)(2)(3)4)(12,(13)14)、(23)(24)(34 (123)(124)、(132)(134),(142).(143)(234)、(243), (1234)(1243)(1324),(1342)(1423),(1432) 2)(34)(13)(24)、(14)(23)} A4={(1)(2)(3)(4)、(123)(124),132),(134),(142) (143)(234)、(243)(12)(34)(13)24)、(14)(23)} (1234)=(12)(13)(14)
4.4 Burnside引理 • (1)共轭类 先观察S3,A3,S4,A4,以增加感性认识。 S3={(1)(2)(3),(23),(13),(12),(123),(132)}. A3={(1)(2)(3),(123),(132)}. S4={(1)(2)(3)(4),(12),(13),(14),(23),(24),(34), (123),(124),(132),(134),(142),(143),(234),(243), (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432), (12)(34),(13)(24),(14)(23)}. A4={(1)(2)(3)(4),(123),(124),(132),(134),(142), (143),(234),(243),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}. • (1234)=(12)(13)(14)