4,2置换群 (2)例等边三角形的运动群 绕中心转动120,不动 绕对称轴翻转。 P1=(123).P2=(123)P P5=(123)P6=(23)。 in上的所有置换(共n个构成一个 群,称为对称群,记做Sn 注意:一般说[1n]上的一个置换群,不 定是指Sn但一定是Sn的某一个子群
4.2 置换群 • (2)例 等边三角形的运动群。 绕中心转动120，不动， 绕对称轴翻转。 P1=( ),P2=( ),P3=( ),P4=( ), P5=( ),P6=( )。 [1,n]上的所有置换(共n!个)构成一个 群，称为对称群，记做Sn. • 注意：一般说[1,n]上的一个置换群，不 一定是指Sn.但一定是Sn的某一个子群。 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 1 2 3 3 1 2 1 2 3 1 3 2 1 2 3 3 2 1 1 2 3 2 1 3 1 2 3
4,2置换群 ·任一n阶群同构于一个n个文字的置换群。 设G={ al. a2 an},指定G中任一元ai,任 a∈G,Pi ajai,则P是G上的 个置换,即以G为目标集 P=(a2aa2a),G的右正则表示f: ai-(a)=Pi。是单射:a≠a,则PPP f(aiaj)=( al an al(aiaj) a2(aiaj).. an(aiaj) al a2 an a2 al ai alai…anai八( alai)((a2ai)aj (anai)ai )=f(ai)f(aj) 令P={P=(a1)ai∈G则PG
4.2 置换群 • 任一n阶群同构于一个n个文字的置换群。 设G={a1,a2,…,an}，指定G中任一元ai, 任 意aj∈G，Pi：aj → aj ai ，则Pi是G上的一 个置换，即以G为目标集。 Pi=( )， G的右正则表示f： ai→( )=Pi。f是单射：ai≠aj，则Pi≠Pj f(aiaj) = ( ) =( )( )=f(ai)f(aj) 令P={Pi=( )|a,ai∈G},则P≈G a1 a2 … an a1ai a2ai … anai ai aai a1 a2 … an a1(aiaj) a2(aiaj) … an(aiaj) a1 a2 … an a1ai a2ai … anai a1 a2 … an (a1ai)aj (a2ai)aj … (anai)aj ai aai
4.3循环、奇循环与偶循环 (a21an)(aa2am:a)称为置换的循环 表示 于是(3)(14523.(35(13245 (521)(154)(2)3) (aiaz. am ) =(aas. amai)=.=(amal. am-1)m 种表示方法
4.3循环、奇循环与偶循环 • (a1a2…am)=( ) 称为置换的循环 表示。 • 于是( )=(14523), ( )=(132)(45), ( )=(154)(2)(3). • (a1a2…am)=(a2a3…ama1)=…=(ama1…am-1)有m 种表示方法。 a1a2…am-1am a2 a3…am a1 12345 43152 12345 31254 12345 52314
4.3循环、奇循环与偶循环 若两个循环无共同文字,称为不相交的, 不相交的循环相乘可交换。如(132)(45)= (45)(132) 若p(aa.am),则p=(1)(2).(m)=e 定理任一置换可表成若干不相交循环的乘积。 证对给定的任一置换p=(a2),从 1开始搜索1→a→a→a a→1得 循环(1 ai ai.. ajk),若(1an…a)包含
4.3循环、奇循环与偶循环 • 若两个循环无共同文字，称为不相交的， 不相交的循环相乘可交换。如(132)(45)= (45)(132). • 若p=(a1a2…am),则p =(1)(2)…(n)=e. • 定理 任一置换可表成若干不相交循环的乘积。 证 对给定的任一置换p=( )，从 1开始搜索1→ai1→ai2→ai3→…→aik→1得 一循环(1 ai1 ai2…aik),若(1 ai1 … aik)包含 n 1 2 … n a1 a2…an p p p p p p
4.3循环、奇循环与偶循环 了[1,n]的所有文字,则命题成立。否则在 余下的文字中选一个,继续搜索,又得一循 环。直到所有文字都属于某一循环为止。 因不相交循环可交换,故除了各个循环的 顺序外,任一置换都有唯一的循环表示。 例一副扑克牌,一分为二,交错互相插入 (洗牌,这样操作一次相当于一个置换p。 i2=(+1)2=13555.p(第个位置 i2+26,1=2,46,52.被号牌占据
4.3循环、奇循环与偶循环 了[1,n]的所有文字，则命题成立。否则在 余下的文字中选一个，继续搜索,又得一循 环。直到所有文字都属于某一循环为止。 因不相交循环可交换，故除了各个循环的 顺序外，任一置换都有唯一的循环表示。 例 一副扑克牌，一分为二，交错互相插入 (洗牌)，这样操作一次相当于一个置换p。 i = p (i+1)/2,i=1,3,5,…,51. i/2+26,i=2,4,6,…,52. p=( ),第i个位置 被i 号牌占据. p ip p