第1章概率论的基本概念 典型例题分析 事件的表示及其等价表示 例1设A,B,C为三个事件,则“A,B,C中至少有一个不发生”这一事件可表示 为()。 (A)AB+AC+BC (B)A+B+C (C)ABC+ ABC+ ABC (D)A+B+C 分析根据事件的并的定义,凡是出现“至少有一个”,均可由“并”来表示,在本题 中,要表示的事件是“至少有一个不发生”,由于不发生可由对立事件来表示,于是“A, C至少有一个不发生”等价于“A,B,C中至少有一个发生”,故答案(D)正确。 答选择(D)。 二、事件的关系与运算 例1如果A与B互不相容,则()。 (A)AB=O (B)A=B (C)A +B=Q 分析这里要区分互不相容和对立事件。如图,A与B互不相容,显然(D),(B)不成立。 而AB=9.(AUB也不为必,故(A)也不成立,事实上,由于A+B=AB=g 于是选择(C)。 答选择(C) 例2A,B是两个事件,则下列关系正确的是()。 (A)(A-B)+B=A (B) AB+(A-B)=A (C)(A+B)-B=A (D)(AB+A)-B=A 分析这类问题的关键在于正确理解事件运算的定义和性质,必要时可借助于文氏图来分析 比如选项(A)的左边的运算结果应该等于A+B,而不是A:而选项(C)左边运算的含义 是A发生而B不发生,即为A-B,这两个选项的关键在于注意求和差运算的顺序。选项(B) 的左边实际上等于AB+AB=A(B+B)=A,从而选项(B)是正确的,最后选项(D)左 边的括号中运算结果实际上等于A,从而左边运算的结果为A-B 答选择(B) 应用概率性质计算概率 例1已知P(A)=p,P(B)=q,P(∪B)=p+q,则P(A∪B)= 分析首先,由题设及加法法则知P(AB)=0,尽管AB一般不一定等于⑧,但在概率计算
第1章 概率论的基本概念 典型例题分析 一、事件的表示及其等价表示 例 1 设 A，B，C 为三个事件，则“A，B，C 中至少有一个不发生”这一事件可表示 为（）。 (A) AB+AC+BC (B) A+B+C (C) ABC + ABC + ABC (D) A + B + C 分析 根据事件的并的定义，凡是出现“至少有一个”，均可由“并”来表示，在本题 中，要表示的事件是“至少有一个不发生”，由于不发生可由对立事件来表示，于是“A，B， C 至少有一个不发生”等价于“ A ， B ，C 中至少有一个发生”，故答案（D）正确。 答 选择（D）。 二、事件的关系与运算 例 1 如果 A 与 B 互不相容，则（ ）。 （A） A B = （B） A =B （C） A + B = （D）A+B= 分析 这里要区分互不相容和对立事件。如图，A 与 B 互不相容，显然（D），（B）不成立。 而 A B = -（ A B 也不为 ，故（A）也不成立，事实上，由于 A + B = AB = ， 于是选择（C）。 答 选择（C）。 例 2 A，B 是两个事件，则下列关系正确的是（ ）。 （A）（A-B）+B=A （B）AB+（A-B）=A （C）（A+B）-B=A （D）（AB+A）-B=A 分析 这类问题的关键在于正确理解事件运算的定义和性质，必要时可借助于文氏图来分析。 比如选项（A）的左边的运算结果应该等于 A+B，而不是 A；而选项（C）左边运算的含义 是 A 发生而 B 不发生，即为 A-B，这两个选项的关键在于注意求和差运算的顺序。选项（B） 的左边实际上等于 AB+A B =A（B+ B ）=A，从而选项（B）是正确的，最后选项（D）左 边的括号中运算结果实际上等于 A，从而左边运算的结果为 A-B。 答 选择（B）。 三、 应用概率性质计算概率 例 1 已知 P A p ( ) = ， P B q ( ) = ， P A B p q ( ) = + ，则 P A B ( ) = _______. 分析 首先，由题设及加法法则知 P AB ( ) =0，尽管 AB 一般不一定等于 ，但在概率计算
时视其为必也不会影响计算结果。在求填空题时,这是一种好的技巧。接下来不妨设 AB=,此时BcA,从而P(A∪B)=P(A)=1-P(A)=1 答1 例2己知P(B)=04,P(AB)=0.2,P(AB)=0.6,则P(AB) 分析由于P(AB)=1-P(A+B),因而需计算P(A+B)。又根据加法公式有 P(A+B)=P(4)+P(B)-P(AB),其中题设中已知P(B)和P(AB),因而需计算P(A), 注意到P(AB)+P(AB)=P(A)。由此可计算P(A+B)从而得P(AB)。 谷0。 四、由概率性质导出的一些结果 例1设P(A)=0.6,P(B)=0.7,证明0.3≤P(AB)≤0.6 分析证明概率不等式的基本依据是概率的性质,通常包括:事件的概率介于0和1之 间:子事件的概率不大于母事件的概率;概率的计算公式等。 证明首先由ABcA,知P(AB)≤P(A)=0.6,其次, P(AB)=P(A)+P(B)-P(4UB)=0.6+0.7-P(AUB),又由P(AUB)≤1知 P(AB)≥0.6+0.7-1=03 五、古典概率的概率计算 1袋中取球问题 例1一袋中装有m+n个球,其中m个黑球,n个白球,现随机地从中每次抽取出 个球(不放回),求下列事件的概 次取到的是白球 (2)第i次才取到白球 (3)前i次中能取到白球: (4)前i次中恰好取到l个白球(l≤i≤m+n,l≤n); (5)到第i次为止才取到l个白球(l≤i≤m+n,l≤n) (6)取球直到剩下的球的颜色都相同为止,最后剩下的全是白球 分析本题中取球是按顺序取的,所考虑的事件往往也涉及取球的顺序,所以在计算样 本点数(即基本事件数)时,要用排列数 解(1)m+n个球按顺序取出共有(m+n)!种取法,其中第i次取出的是白球的取 法按乘法法则共有C(m+n-1)!种取法,于是“第i次取到的是白球”这一事件A1的概率 P(4) C(m+n-1) (m+n)!
时视其为 也不会影响计算结果。在求填空题时，这是一种好的技巧。接下来不妨设 AB= ，此时 B A ，从而 P A B ( ) = P A( ) =1- P A( ) =1-p. 答 1-p . 例 2 已知 P B( ) =0.4， P AB ( ) =0.2， P AB ( ) =0.6，则 P AB ( ) =_______. 分 析 由 于 P AB ( ) =1- P A B ( ) + ， 因 而需 计算 P A B ( ) + 。 又 根据 加法 公式 有 P A B ( ) + = P A( ) + P B( )- P AB ( ) ，其中题设中已知 P B( ) 和 P AB ( ) ，因而需计算 P A( ) ， 注意到 P AB ( ) + P AB ( ) = P A( ) 。由此可计算 P A B ( ) + 从而得 P AB ( ) 。 答 0。 四、由概率性质导出的一些结果 例 1 设 P A( ) =0.6， P B( ) =0.7，证明 0.3 P AB ( ) 0.6. 分析 证明概率不等式的基本依据是概率的性质，通常包括：事件的概率介于 0 和 1 之 间；子事件的概率不大于母事件的概率；概率的计算公式等。 证 明 首先由 AB A ， 知 P AB ( ) P A( ) =0.6 ，其次，由 P AB ( ) = P A( ) + P B( ) - P A B ( ) =0.6+0.7- P A B ( ) ，又由 P A B ( ) 1 知 P AB ( ) 0.6+0.7-1=0.3。 五、古典概率的概率计算 1 袋中取球问题 例 1 一袋中装有 m n + 个球，其中 m 个黑球， n 个白球，现随机地从中每次抽取出一 个球（不放回），求下列事件的概率： （1） 第 i 次取到的是白球； （2） 第 i 次才取到白球； （3） 前 i 次中能取到白球； （4） 前 i 次中恰好取到 l 个白球（ l i m n + ，l n ）； （5） 到第 i 次为止才取到 l 个白球（ l i m n + ，l n ）； （6） 取球直到剩下的球的颜色都相同为止，最后剩下的全是白球。 分析 本题中取球是按顺序取的，所考虑的事件往往也涉及取球的顺序，所以在计算样 本点数（即基本事件数）时，要用排列数。 解 （1） m n + 个球按顺序取出共有（ m n + ）！种取法，其中第 i 次取出的是白球的取 法按乘法法则共有 1 ( 1)! C m n n + − 种取法，于是“第 i 次取到的是白球”这一事件 Ai 的概率 为 ( ) P Ai = 1 ( 1)! ( )! C m n n m n + − + = n m n +
(2)同(1),基本事件总数为(m+n)!,而“第i次才取到白球”等价于“前i-1次取 到的全是黑球,而且第i次取到的是白球”,由乘法法则,其取法共有CP(m+n-1)!, 于是“第i次才取到白球”这一事件B的概率为 P(B) ClPr(m+n-i)! nPi- (m+n) (3)记该事件为C,先计算其对立事件“前i次没有取到白球”的概率, P(C m+n (m+n)! Pr 于是 P(C)=1-P(C1) P (4)记该事件为D,,则易知 P(D) CP P(m+n-O! CP P CCr (m+n)! (5)“到第i次为止才取到l个白球”等价于“前i-1次恰好取到l-1个白球,而第i次取 到的是白球”,于是该事件E,的概率为 P(E)= m+n (i-1)Cl-Ci-CI-Il Cr(n-1+1) (6)首先注意到“剩下的都是白球”等价于“最后一次取到的是白球”于是由(1)的结 果,该事件F的概率为 2放球入箱问题 例将n个球随意放入N个箱子中,其中每个球等可能放入任意一个箱子,求下列事件 的概率 (1)指定的n个箱子各放入一球(设N≥n) (2)每个箱子最多放入一球: (3)第i个箱子不空
（2）同（1），基本事件总数为（ m n + ）！，而“第 i 次才取到白球”等价于“前 i-1 次取 到的全是黑球，而且第 i 次取到的是白球”，由乘法法则，其取法共有 1 1( 1)! i C P m n n m − + − ， 于是“第 i 次才取到白球”这一事件 Bi 的概率为 1 1 1 ( )! ( ) ( )! i i n m m i i m n C P m n i nP P B m n P − − + + − = = + （3）记该事件为 Ci ，先计算其对立事件“前 i 次没有取到白球”的概率， ( )! ( ) ( )! i i i m m m i i i m n m n P m n i P C P C m n P C + + + − = = = + 于是 ( ) P Ci =1- ( ) P Ci =1- i m i m n P P + =1- i m i m n C C + ； （4）记该事件为 Di ，则易知 ( )! ( ) ( )! l l i l l l i l l i l i n m i n m n m i i i m n m n C P P m n i C P P C C P D m n P C − − − + + + − = = = + （5）“到第 i 次为止才取到 l 个白球”等价于“前 i-1 次恰好取到 l -1 个白球，而第 i 次取 到的是白球”，于是该事件 Ei 的概率为 1 1 ( 1) ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( )! ( ) ( )! ( 1) ( 1) ! l l i l i n m n l i l i n m n l i m n l i n m i m n C P P C m n i P E m n i C C C P C C n l iC − − − − − − − + − − − + + − − + + − = + − = − + = （6）首先注意到“剩下的都是白球”等价于“最后一次取到的是白球”于是由（1）的结 果，该事件 F 的概率为 ( ) n P F m n = + 2 放球入箱问题 例 将 n 个球随意放入 N 个箱子中，其中每个球等可能放入任意一个箱子，求下列事件 的概率： （1）指定的 n 个箱子各放入一球（设 N n ）； （2）每个箱子最多放入一球； （3）第 i 个箱子不空；
(4)第i个箱子恰好放入k(k≤n)个球。 分析这一问题最关键的特点在于每个箱子可以被重复抽取,每个球有N种放法,从而 n个球的总放法为N"。 解(1)基本事件总数为N,将n个球放入指定的n个箱子中,每个箱子各放入一球 这是一个全排列问题,因而放法有n!种,于是该事件A的概率为 P(A)= n! N (2)基本事件总数为N",每个箱子最多放入一球,相当于在N个箱子中任取n个箱 子,n个球在这n个箱子中任意各放入一球,根据乘法法则或排列数,共有PN=CNn!种放 法,于是事件B“每个箱子最多放入一球”的概率为 P(B)= (3)先计算对立事件C“第i个箱子为空”的概率。基本事件总数为N”,而C表明n 各球任意放入第i个箱子以外的其他N-1个箱子中,共有(N-1)”种放法,于是 a)=(N--(N-1 P(C\-1(N-1 (4)基本事件总数为N",第i个箱子恰好放入k个球可分成两步:n个球中任意取k 个球放入第个箱子,共有Cn种取法,然后其他n-k个球随意放入其他N-1个箱子中,共 有(N-1)种放法。由乘法法则,第i个箱子恰好放入k个球的放法有C(N-1)”,从 而该事件D的概率为 PD)=C(N-1)6 N NM 例一辆飞机场的交通车载有25名乘客,途经9个站,每位乘客都等可能在9个站中任 意一站下车,交通车只在有乘客下车时才停车。求下列事件的概率 (1)交通车在第i站停车 (2)交通车在第i站和第j站至少有一站停车 (3)交通车在第i站和第j站均停车;
（4）第 i 个箱子恰好放入 k （ k n ）个球。 分析 这一问题最关键的特点在于每个箱子可以被重复抽取，每个球有 N 种放法，从而 n 个球的总放法为 n N 。 解 （1）基本事件总数为 n N ，将 n 个球放入指定的 n 个箱子中，每个箱子各放入一球， 这是一个全排列问题，因而放法有 n ！种，于是该事件 A 的概率为 ! ( ) n n P A N = （2）基本事件总数为 n N ，每个箱子最多放入一球，相当于在 N 个箱子中任取 n 个箱 子， n 个球在这 n 个箱子中任意各放入一球，根据乘法法则或排列数，共有 n PN = ! n C nN 种放 法，于是事件 B“每个箱子最多放入一球”的概率为 ! ( ) n n N N n n P C n P B N N = = （3）先计算对立事件 C “第 i 个箱子为空”的概率。基本事件总数为 n N ，而 C 表明 n 各球任意放入第 i 个箱子以外的其他 N-1 个箱子中，共有 ( 1)n N − 种放法，于是 ( 1) 1 ( ) n n n N N P C N N − − = = ， 故 1 ( ) 1 n N P C N − = − （4）基本事件总数为 n N ，第 i 个箱子恰好放入 k 个球可分成两步： n 个球中任意取 k 个球放入第 i 个箱子，共有 k Cn 种取法，然后其他 n -k 个球随意放入其他 N-1 个箱子中，共 有 ( 1)n k N − − 种放法。由乘法法则，第 i 个箱子恰好放入 k 个球的放法有 ( 1) k n k C N n − − ，从 而该事件 D 的概率为 ( 1) 1 1 ( ) k n k k n k n k n n C N N P D C N N N − − − − = = 例 一辆飞机场的交通车载有 25 名乘客，途经 9 个站，每位乘客都等可能在 9 个站中任 意一站下车，交通车只在有乘客下车时才停车。求下列事件的概率： （1）交通车在第 i 站停车； （2）交通车在第 i 站和第 j 站至少有一站停车； （3）交通车在第 i 站和第 j 站均停车；
(4)在第i站恰有3人下车 分析此问题是上面例题放球问题的具体应用:将25名乘客视为25个球,9个站视为9 个箱子,于是“第i站停车”等价于“第i站至少有一乘客下车”既而相当于“第i个箱子 不为空”,其他类似 解(1)“交通车在第i站停车”等价于“第i站至少有一乘客下车”,先求对立事件“第 i站无人下车”的概率,类似于上面,由于每个乘客可以在任意一站下车,从而有9种情况, 于是25名乘客有925种下车的情况,而“第i站无人下车”表明25名乘客全部在第i站以 外的8个站下车,共有823种情况,从而“第i站无人下车”的概率为 93,于是“第i站至 少有1人下车”的概率为1-。x5,即“第i站停车”这一事件Ade概率为 P(A (2)类似于(1)的解法,可得“第i站和第j站均无人下车”亦即“第i站和第j站 均不停车”的概率 ,于是“第i站和第j站至少有一站停车”的概率为 P(B) (3)记“第i站停车”为事件A,“第j站停车”为事件A,则所考察的事件“第i 站和第j站均停车”为AA,由(1)知P(A)=1 ,P(A,)=1 由(2) 知 P(4+A,) 于是由概率的加法公式可得 P(44)=P(4)+P(4)-P(4+4) 8-989 ]- 9 (4)类似于上面例题,“第i站恰有3人下车”这一事件E的概率为 P(E)=C25
（4）在第 i 站恰有 3 人下车。 分析 此问题是上面例题放球问题的具体应用：将 25 名乘客视为 25 个球，9 个站视为 9 个箱子，于是“第 i 站停车”等价于“第 i 站至少有一乘客下车”既而相当于“第 i 个箱子 不为空”，其他类似。 解 （1）“交通车在第 i 站停车”等价于“第 i 站至少有一乘客下车”，先求对立事件“第 i 站无人下车”的概率，类似于上面，由于每个乘客可以在任意一站下车，从而有 9 种情况， 于是 25 名乘客有 25 9 种下车的情况，而“第 i 站无人下车”表明 25 名乘客全部在第 i 站以 外的 8 个站下车，共有 25 8 种情况，从而“第 i 站无人下车”的概率为 25 25 8 9 ，于是“第 i 站至 少有 1 人下车”的概率为 1- 25 25 8 9 ，即“第 i 站停车”这一事件 Ade 概率为 P（A）=1- 25 25 8 9 =1- 25 8 9 （2）类似于（1）的解法，可得“第 i 站和第 j 站均无人下车”亦即“第 i 站和第 j 站 均不停车”的概率为 25 7 9 ，于是“第 i 站和第 j 站至少有一站停车”的概率为 25 7 ( ) 1 9 P B = − （3）记“第 i 站停车”为事件 Ai ，“第 j 站停车”为事件 Aj ，则所考察的事件“第 i 站和第 j 站均停车”为 AAi j ，由（1）知 P（ Ai ）=1- 25 8 9 ，P（ Aj ）=1- 25 8 9 ，由（2） 知 25 7 ( ) 1 9 P A A i j + = − 于是由概率的加法公式可得 25 25 25 25 ( ) ( ) ( ) ( ) 8 7 2[1 ] [1 ] 9 9 8 7 1 2 9 9 P A A P A P A P A A i j i j i j = + − + = − − − = − + （4）类似于上面例题，“第 i 站恰有 3 人下车”这一事件 E 的概率为 3 22 3 25 1 8 ( ) 9 9 P E C =