中国人民大学：《博弈论》课程教学资源（讲义）第四章 不完全信息静态博弈

第四章不完金信息静态博弃 S1、不见金信息增弃和贝叶新钠什均衡 §1，不宪全信息博弃和贝叶撕纳什均衡 一、不完金信息博弃 海萨尼转换 香2、见叶纳什均衡的用举例 、 策哈式表述和贝叶斯纳什均衡 a、 贝叶浙博弃与合策哈均衡 一、不完全信息博弃 一、 不史全信息博弃 ()海地产开装一一不电金信高始底博弃桃过 自装特 开发商部 师尚严家关基体货察开线情事中。者市场带求风不瑞比 04 是一季与人的支行高数是共花参与人人南意（保型 开发邮 有场过入博率换型 开发商开发 开发 不研 不开发91十。0 不完全信博弃 一、不完全信息博弃 开发 开发商 成本 低本 开发 默许 开发商A开发-1,3p-11+30 不研发0,1+p00

1 第四章 不完全信息静态博弈 §1、不完全信息博弈和贝叶斯纳什均衡 §2 、贝叶斯纳什均衡的应用举例 §1 、不完全信息博弈和贝叶斯纳什均衡 一、 不完全信息博弈 二、 海萨尼转换 三、 策略式表述和贝叶斯纳什均衡 四、 贝叶斯博弈与混合策略均衡 一、 不完全信息博弈  不完全信息博弈情形： （1）参与人的支付函数依赖于自然的选择 例如：在房地产商开发博弈中，若市场需求是不确定的， 即为一不完全信息博弈。 （2）某一参与人的支付函数是其他参与人私人信息（类型） 的函数 市场进入博弈模型 （1）房地产开发——不完全信息静态博弈模型 自然以P的概率选择 高需求 开发商B 开发 不开发 开发商A 开发 2, 2 4, 0 不开发 0, 4 0, 0 自然以1-P的概率选 择低需求 开发商B 开发 不开发 开发商A 开发 －1, －1 1, 0 不开发 0, 1 0, 0 一、 不完全信息博弈 自然以p的概率 选择高需求 开发商B 开发 不开发 开发商A 开发 3p－1, 3p－1 1＋3p, 0 不开发 0, 1＋3p 0, 0 当p＞1/3时，（开发，开发）是双方的占优策略均衡； 当p≤1/3时，有两个纯策略纳什均衡：（开发，不开发） 和（不开发，开发），和一个混合策略纳什均衡：双方 都以(1+3p)/2的概率选择开发。 一、 不完全信息博弈  在完全信息条件下，在位者知道进入者的成本函数。 若在位者是高成本，则当进入者进入时在位者的最优选择 是默许，此时，潜在进入者将进入； 若在位者是低成本，给定进入者进入时，在位者的最优选 择是斗争。因此，潜在进入者将不进入。 在位者 高成本 低成本 默许 斗争 默许 斗争 进 入 者 进入 40，50 -10，0 30，80 -10，100 不进入 0，300 0，300 0，400 0，400 （2）市场进入的不完全信息博弈模型 一、 不完全信息博弈

一、不宪金信息博 二，海萨尼转换 不亮 成本p) 在位者 成本1p) :40(←10p=50-10 风：>0.2，则 二、海萨尼转换 三、海萨尼转换 中的其烈凤指一个参与人所端有的所有的个人信息，称为 94” 21 二、海萨尼转换 三、 草略式表述和贝叶新纳什均衡 1 嘉n来电* 2 如果类型的分布是独立的，则有配(，)-P(8)

2  若潜在进入者认为在位者是高成本的概率为p，低成本的概 率为1-p，则潜在进入者 选择进入的期望利润为： 40p+(-10)(1-p)= 50p-10 选择不进入的期望利润为：0 因此，潜在进入者的最优选择是：若p≥0.2，则潜在进入者 将选择进入，否则不进入。 不完全 信息 在位者 高成本（p） 低成本（1-p） 默许 斗争 默许 斗争 进 入 者 进入 40，50 -10，0 30，80 -10，100 不进入 0，300 0，300 0，400 0，400 一、 不完全信息博弈  A 房地产开发博弈：开发商面临市场两种需求状态，由于需 求不确定，通过自然决定某种市场需求状态（以概率表示）;  B 市场进入博弈模型的换位思考：进入者与两个不同成本的 在位者博弈；一般地，若在位者有N种可能的成本函数，则 进入者似乎是在与N个不同的在位者博弈.  海萨尼引入了虚拟参与人——自然，自然首先行动，以此将 不完全信息博弈转化为完全但不完美信息博弈（自然做出了 它的选择（比如市场需求大还是小，在位者是高成本还是低 成本），但其他参与人并不知道它的具体选择是什么，仅知 道各种选择的概率分布。（此即海萨尼转换）  海萨尼转换已成为处理不完全信息博弈的标准方法。 二、海萨尼转换 博弈中的类型是指一个参与人所拥有的所有的个人信息，称为他 的类型。 对于一个参与人而言，他自己知道自己是某种特定类型，而对于 其他（全部或部分）参与人来说，则只知道他是若干种可能类型中 的一种，而不能确切地知道他是哪一种特定类型。 如在市场阻挠博弈中，进入企业（参与人1）决定是否进入一个 新的产业，只知道在位者有两种类型∶可能是高成本也可能是低成 本，但不知道在位企业（参与人2）到底是高成本还是低成本。而 在位者知到自己是高成本还是低成本。假如进入者只有一种类型且 是共同知识。这样，在该博弈中，在位者有两种类型，且是在位者 的私人信息，而进入者只有一种类型，则该博弈是不完全信息博弈。 不完全信息意味着，至少有一个参与人有多个类型（否则就成为完 全信息）。 二、海萨尼转换 一般用  i i i 来表示参与人i的一个特定的类型， 表示参与人i所有可能类型的集合（ ）。 用 i由于大多数博弈中，参与人的特征由支付函数完全确 定，因而一般将参与人的支付函数等同于他的类型。 通常假定，参与人i只知道自己的类型，但他知道其他参 与人类型的概率分布。 二、海萨尼转换  假定P(1，…，n )为所有参与人类型集 =1×2×……×n上的联合概率分布函数，它是所有 参与人的共同知识。记-i＝（1，…i-1，i+1，…，n） 表示除参与人i之外所有参与人的类型组合，记pi (-i|i ) 表示参与人i的类型为 i时参与人i关于其他参与人类型- i的条件概率，它满足：           i i i i i i i i i i i i p p p p p ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( | )          二、海萨尼转换 ( ) ( ) 如果类型的分布是独立的，则有Pi      i i i i  P 三、 策略式表述和贝叶斯纳什均衡  n人静态贝叶斯博弈的策略式表述包括： 参与人的类型空间：1，…，n 条件概率：p1，…，pn 类型依存支付函数：ui (a1 , …, an ;i ) 参与人i知道自己的类型ii，条件概率pi描述给定自己属于 i的情况下，参与人i有关其他参与人类型-i-i的不确定性， ai (i )Ai (i )表示参与人i的类型为i时所选择的行动（即参与 人的行动是类型依存的）。  用G＝｛A1，…，An；p1，…，pn；u1，…，un｝代表上述博弈。 当所有参与人的类型空间只包含一个元素时，不完全信息博弈 就退化为完全信息博弈

三、策略式表述和贝叶新纳什均衡 三、 策哈式表远和贝叶新纳什均衡 时道年（题来寺）二，” ,其中，（伯）： ,● 票测海直的支甘（色复第春妙文世） a*(@)ea厚盟∑n10(a,(@.a*0k. 叶新纳什均衡 的理性：每个人准确测 具有类型0，的参与人i将选择4*(0，)。 ∑p,(0410,)m,(a,(0,.a-(04b0,0) 四、贝叶撕博弃与混合策略均衡 四、贝叶斯博弈与混合策略均衡 四、贝叶撕博弈与混合略均衡 四、贝叶斯修弃与演合草哈均衡 时装

3 三、 策略式表述和贝叶斯纳什均衡  静态贝叶斯博弈的时间顺序是： 首先，自然确定类型向量 ＝(1，…，n ) ，i是参与 人i的私人信息； 其次，参与人同时选择行动（类型依存的）a=(a1，…， an )，aiAi (i )； 最后，参与人得到各自的支付（类型依存的支付） ui (a1 , …, an ;i ) 。  条件概率分布、类型依存的行动空间和类型依存的支付函 数是共同知识。参与人只知道自己的类型，他将最大化其 期望效用函数，后者定义为：       i i i i i i i i i i i p u a a  ( |  ) ( ( ), ( ); , ) 三、 策略式表述和贝叶斯纳什均衡  贝叶斯纳什均衡：n人不完全信息静态博弈G＝｛A1，…， An；p1，…，pn；u1，…，un｝的纯策略贝叶斯纳什均衡 是一个类型依存策略组合a*=（ai *(i )），i=1，2，… ， n。其中，ai *(i )满足： •贝叶斯纳什均衡的理性：每个人j都能准确地预测到 具有类型i的参与人i将选择 ai *(i )。         i i i i i i i i i i i i i i i a A ai i p u a a    *( ) argmax ( | ) ( ( ), *( ); , ) ( ) ( ) 四、贝叶斯博弈与混合策略均衡  在完全信息情况下，混合策略均衡解释通常被认为过于牵 强，但海萨尼（1973）证明，完全信息情况下的混合策略 均衡可以解释为不完全信息情况下纯策略均衡的极限。  混合策略纳什均衡的本质不在于参与人i随机地选择行动， 而在于参与人i不能确定参与人j将选择什么纯策略，这种 不确定性来自于参与人j类型的私人信息。 回顾性别战的混合策略NE  妻子—以3/4的概率选时装，1/4概率选足球；  丈夫—以1/3的概率选时装，2/3概率选足球。  把我们已经了解的上述完全信息静态博弈假设为双方对对 方支付的不完全了解(或者对对方类型如喜好的不完全了 解，从而引入信息的不完全性). 0, 0 0, 0 时装 妻 子 丈夫 足球 足球 时装 完全信息性别战 2,1 1,3 四、贝叶斯博弈与混合策略均衡 不完全信息性别战G  {Aw , Ah ;Tw ,Th ; pw , ph ;uw ,uh }  、分别是妻子和丈夫的私人信息，并且在区间 [0，x]上独立均匀分布（ x 可以理解为一个很小的 正数）。不完全信息博弈表示为 不完全信息性别战 0, 0 0, 0 时装 妻 子 丈夫 足球 足球 时装 2  tw ,1 h 1,3 t 四、贝叶斯博弈与混合策略均衡 不完全信息性别战  考虑如下策略：  妻子在tw 超过某临界值w,即tw > w时，选择时装，否则选足 球；丈夫在th 超过某临界值h,即th > h时，选择足球，否则 选时装  上述策略中，妻子选时装的概率  pw(时装)=（x-w）/x，  选足球的概率 pw(足球)= w/x；  丈夫选足球的概率ph(足球) = （x-h）/ x，  选时装的概率ph(时装)=h/x。 四、贝叶斯博弈与混合策略均衡

四、贝叶斯博弈与混合莱略均衡 四、贝叶斯博弈与混含第略均衡 不究金信逸性刷旅 当且仅当卫+小-时。即队>任-套子意释时装是最优的 容学的店界夜现味收线 时装x-m1x得益2+L+二x0-2+】 当且仅当+)时耶>号-4丈夫越释足螺是最优的 足华1，得色x0+=x1- 足球x-红符益兰B+4)+二”x0=票3+，) 时装名得造二兰1+x0=写 丈夫是球1-2西 §2、贝叶斯纳什均衡的应用例 一、 不虎全信息古谱模以 二、轴海向厘 生不出 ()一由价格（） (2)装方叫价轴 一 不全信古诺型 n ,a- 4,-99-p） q -Ta- -(1-p)]/2=(a- c--er)2 *ac9=(re/hqga,e=6e-e,hg2 A/

4 不完全信息性别战 x x h x x h xh w x t xh x x h t xh x w x w w              / 0 1 ( )/ (2 ) 0 (2 ) 足球 ，得益 时装 ，得益 妻子的临界值策略和收益 丈夫的临界值策略和收益 ( ) / (3 ) 0 (3 ) / 1 0 h h w x w w x h x t t x x x x w w x w h x x x x            足球 ，得益 时装 ，得益 四、贝叶斯博弈与混合策略均衡 (2 ) 3, (3 ) 4, 3 , 4 , 3 9 3 6 2 9 3 , 2 3 3 9 3 1 2 6 2 9 3 1 3 w w h h x h x t t x h x w x t t x w x x w h h w x x w h x x x x                               h 当且仅当 时，即 妻子选择时装是最优的； x w 当且仅当 时，即 丈夫选择足球是最优的； x 因此， 从而解得 妻子选时装： ， 丈夫选足球： 四、贝叶斯博弈与混合策略均衡 §2 、贝叶斯纳什均衡的应用举例 一、不完全信息古诺模型 二、拍卖问题 （1）一级密封价格拍卖（招标） （2）双方叫价拍卖 一、 不完全信息古诺模型  Cournot模型：  在不完全信息古诺模型中，参与人的类型是成本函数。  设每一企业i分别有不变的单位成本ci。为简单起见，我们假 设： 企业1的单位成本c1是共同信息，企业2的单位成本c2是其 私人信息，它有高成本c2 H和低成本c2 L两种情形，设低成本的 概率为p，它是双方的共同知识。 一、 不完全信息古诺模型  给定企业2知道企业1的成本时，企业2将最大化其利润函数： π2 =q2 (a-c2 -q1 -q2 )， 其中c2 =c2 H或c2 L依赖于企业2的实际成本。 由此可得企业2的反应函数为： q2 *(q1 , c2 )=(a-c2 -q1 )/2 它不但依赖于企业1的产量q1，而且依赖于自己的成本c2。 分别记q2 L、q2 H为企业2在低成本和高成本下的最优反应产 量，分别为： q2 *(q1 , c2 L )=(a-c2 L -q1 )/2 q2 *(q1 , c2 H )=(a-c2 H -q1 )/2 一、 不完全信息古诺模型  企业1将最大化自己的期望利润函数： Eπ1 =q1 (a-c1 -q1 -q2 L ) *p+q1 (a-c1 -q1 -q2 H ) *(1-p) 由此可求得企业1的最优反应函数为： q1 *=[a-c1 -pq2 L -(1-p)q2 H ]/2=(a-c1 -Eq2 )/2 均衡意味着两个反应函数同时成立，由此得贝叶斯均衡为： q1 *=[a-2c1 +pc2 L +(1-p)c2 H ]/3 q2 L * = (a+c1 -2c2 L )/3-(1-p)(c2 H -c2 L )/6 q2 H * = (a+c1 -2c2 H )/3+p(c2 H -c2 L )/6  特别地，当a=2，c1 =1，c2 L =3/4，c2 H =5/4，p=1/2时，有 q1 *=1/3，q2 L *=11/24，q2 H *=5/24

一、不史全信息古活模型 二、不全信吉棋型 当以上条满义对 图示一一完盒信息情形 8 a*(a) 1/6 /45/12 不宪全信惠古带棋型 不究全信息直诺模型 不完全信息时的潮望反 图录一一不完金情丸情形 不光金信时的纳什 1/6 对 1V4V3/12 /46/12 二、拍奥问题 二、拍央问题

5 一、 不完全信息古诺模型  在完全信息情形下，当以上条件满足时， 若企业 2为低成本时，纳什均衡产量为 q1 *=1/4， q2 L *=1/2；企业2为高成本时，则企业1和2的纳什均衡产 量分别为5/12和1/6。  在不完全信息下，产量分别为：q1 *=1/3，q2 L *=11/24， q2 H *=5/24。  相对于完全信息，在不完全信息下，低成本企业的产量 相对较低（11/24<1/2),高成本企业的产量相对较高 (5/24>1/6)。原因：企业1对期望利润做出反应的结果。  企业2为低成本时，应提高产量，但是它的低成本不为 企业1准确知道，因此企业2要生产比完全信息时稍低的 产量才是最优的，同理可推知高成本的情形。 q2 L q2 H q1 *(q2 ) q1 q2 1/45/12 1/6 1/2 完全信息时的纳什均衡 图示——完全信息情形 一、 不完全信息古诺模型 不完全信息时的期望反应 q2 L q2 H q1 *(q2 ) q1 q2 1/45/12 1/6 1/2 完全信息时的纳什均衡 Eq2 一、 不完全信息古诺模型 图示——不完全信息情形 q2 L q2 H q1 *(q2 ) q1 q2 1/3 5/24 11/24 不完全信息时的纳什均衡 Eq2 1/4 5/12 思考：在不完全信息情形下，两企业的产量有何变化？ 一、 不完全信息古诺模型 二、拍卖问题 （1）一级密封价格拍卖（最高价格密封出价拍卖） 规则∶每个参与人分别提交自己的出价，但不知道别人的出价。出 价最高的获得物品，并按此价格付给卖者。 （2）二级（次高）价格密封出价拍卖（维克瑞拍卖） 规则∶每个参与人分别提交自己的出价，但不知道别人的出价。出 价最高者获得物品，并按所有出价中的次高价格付钱给卖者。 （3）双方叫价拍卖 规则∶在这种拍买中，潜在的买者和卖者同时开价，卖者提出 要价（卖者知道，买者不知道），买者提出出价（买者知道， 卖者不知道），拍卖商然后选择成交价格p清算市场∶所有要价 低于p的卖者卖出，所有出价高于p的买者买入。 二、拍卖问题 （4）最高价格公开出价拍卖（英国式拍卖） 规则∶每个参与人可自由地提高自己的出价。如果没有买者再提高 自己的出价，则出价最高的获得物品，并按此价格付给卖者。 （5）降价式拍卖（荷兰式拍卖） 规则∶卖者宣布一个要价，然后不停地降低这一价格，直到一个买 者让他停止要价，并在当前叫停的价格上买下物品