例1设总体X服从[a,b]上的均匀分布，a,b未知， X,X2,,Xn为来自总体X的样本，试求a,b的 矩估计量. 解 41=EX)=+ 4,=E(X2)=D(X)+[E(X2=-a2+a+b2 12 4 由矩估计法，令 3 2 二A a+b a-X--X). -2+a+b'=A B=X+. 3 Σ(X,-) 12 1n i=i
例1 设总体X服从[a，b]上的均匀分布，a，b未知， X1 , X2 , …,Xn为来自总体X的样本,试求a，b的 矩估计量． + + − = = + = + = = 4 ( ) 1 2 ( ) ( ) ( ) [ ( )] , 2 ( ) 2 2 2 2 2 1 b a a b E X D X E X a b E X 解 由矩估计法,令 = + + − = + 2 2 2 1 4 ( ) 12 ( ) 2 A b a a b A a b = + − = − − 3( ) ˆ ˆ 3( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 b A A A a A A A = = = + − = − − n i i n i i X X n b X X X n a X 1 2 1 2 ( ) 3 ˆ ( ) , 3 ˆ
例2设总体X的均值E(X)=μ，方差D(X)=σ2都存在， 且o2>0.但，o2均为未知.X1,X2,,X为来自总体 X的样本，求μ，σ2的矩估计量. 解J41=E(X)=4 42=E(X2)=D(X)+[E(X)I2=o2+u2 由矩估计法，令“=A, o2+42=A2 ù=x, 2=A1=X 62=A2-A 总体均值与方差的矩估计量的表达式 不因不同的总体分布而不同
= = + = + = = 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) [ ( )] ( ) E X D X E X 解 E X + = = 2 2 2 1 , A A 由矩估计法,令 总体均值与方差的矩估计量的表达式 不因不同的总体分布而不同． ˆ = A1 = X 2 2 1 2 ˆ = A − A 例2 设总体X的均值E(X)=, 方差D(X)=2 都存在, 且2 >0.但 ,2 均为未知. X1 , X2 , …,Xn为来自总体 X的样本, 求,2 的矩估计量. = − = = n i Xi X n X 1 2 2 ( ) 1 ˆ ˆ ,
>常见分布的参数矩估计量 (1)若总体X~b(1,p),则未知参数p的矩估计量为 =X (2)若总体X~b(N,p)则未知参数p,N的矩估计量为 ,- N= X2 ,p=1- i=1 x-1(x,-2 X i=1
(1)若总体X~b(1, p), 则未知参数 p 的矩估计量为 p ˆ = X (2)若总体X~b(N, p), 则未知参数p , N的矩估计量为 ➢常见分布的参数矩估计量 X X X n p X X n X X N n i i n i i = = − = − − − = 1 2 1 2 2 ( ) 1 , ˆ 1 ( ) 1 ˆ
3)若总体X~N(,o2),则未知参数μ，σ2的矩估计量为 应=x,2=1∑(X:-X0 (4)若总体X~π()，则未知参数入的矩估计量为 元=x,或i-1∑x,-)2 点估计的矩估计法要求总体原点矩存在，而有些随机变量的 原点矩不存在，就不能用此法进行参数估计。此外，矩估计 有时不唯一；再者它没有利用总体分布函数所提供的信息， 因此很难保证它有优良的性质
(3)若总体X~ N(,2 ), 则未知参数,2的矩估计量为 = = = − n i Xi X n X 1 2 2 ( ) 1 ˆ ,ˆ (4)若总体X~ (), 则未知参数 的矩估计量为 , ˆ = X = = − n i Xi X n 1 2 ( ) 1 ˆ 或 点估计的矩估计法要求总体原点矩存在，而有些随机变量的 原点矩不存在，就不能用此法进行参数估计。此外，矩估计 有时不唯一；再者它没有利用总体分布函数所提供的信息， 因此很难保证它有优良的性质
二、最大似然估计法 最大似然估计法是目前仍然得到最广 泛应用的一种方法，它是建立在极大似然 原理的基础上的一个统计方法。 最大似然法原理的直观想法：“概率最大的事件 最可能出现”.例如有一个事件，若知道它出现的概率 只能是0.01或0.99，而在一次观测中，此事件出现，此时 自然会说它的概率应为0.99.因此参数估计的极大似 然法是要选取这样的值来作为参数的估计值，使得当 参数取这一数值时，观测结果出现的可能性为最大
二、最大似然估计法 最大似然估计法是目前仍然得到最广 泛应用的一种方法，它是建立在极大似然 原理的基础上的一个统计方法。 最大似然法原理的直观想法: “概率最大的事件 最可能出现”. 例如有一个事件,若知道它出现的概率 只能是0.01或0.99,而在一次观测中,此事件出现,此时 自然会说它的概率应为0.99.因此,参数估计的极大似 然法是要选取这样的值来作为参数的估计值,使得当 参数取这一数值时,观测结果出现的可能性为最大