第五章 大数定律及中心极限定理 §5.1大数定律 §5.2， 中心极限定理
第五章 大数定律及中心极限定理 §5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理
◆概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的 学科。而随机现象的统计规律性是在相同条件下 进行大量重复试验呈现出来的。 ◆例如，在概率的统计定义中，曾提到一事件发生 的频率具有稳定性，即事件发生的频率趋于事件 发生的概率：当试验次数无限增大时，事件发生 的频率在某种收敛意义下逼近一定数。这就是最 早的大数定律。 ◆一般的大数定律讨论n个随机变量的平均值的稳 定性
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的 学科。而随机现象的统计规律性是在相同条件下 进行大量重复试验呈现出来的。 例如，在概率的统计定义中，曾提到一事件发生 的频率具有稳定性，即事件发生的频率趋于事件 发生的概率：当试验次数无限增大时，事件发生 的频率在某种收敛意义下逼近一定数。这就是最 早的大数定律。 一般的大数定律讨论n个随机变量的平均值的稳 定性
频率“稳定于”概率应从可能性角度来解释，即 对于y8>0.只要流分大份-p心产6发在的可能 性很小，而且随着的增大，越来越小 台房心c- 这种收敛性称为“依概率收敛”！
频率“稳定于”概率应从可能性角度来解释, 即 0 , , A n n p n n 对于 只要 充分大 发生的可能 性很小，而且随着 的增大，越来越小. 这种收敛性称为“依概率收敛”！ lim 0. A n n P p n 3
§5.1大数定律 定义1 设Y,Y2,Yn…为一随机变量序列，是常数， 若对任意正数ε，有 lim P(Y -a<&)=1 n-→o0 则称随机变量序列Y,Y2,,Yn,…依概率收敛于4， 记为： Yy-Pxa 性质：设X,P→，卫nP→h,gk,)在点(a,b)连续， 则g(Xn,Yn)P→g(a,b)
§5.1 大数定律 lim {| | } 1 n n P Y a Y a n P g( ) g(a,b) n n P X ,Y 性质：设 P , X a n Y b n P 则称随机变量序列Y1 , Y2 ,…,Yn , ... 依概率收敛于a ， 记为: 若对任意正数，有 定义1 设Y1 , Y2 …,Yn ,...为一随机变量序列，a是常数， , g(x, y)在点(a, b)连续, 则
定理1（切比雪夫定理的特殊情况）设随机变量序 列X,X2,Xm,…相互独立，且具有相同的数学期望 和方差：EX)=μ，DX)=o2(k=1,2),则对任意 的ε>0，有 P2x<-1 即 i= 提示：利用切比雪夫不等式证， 此定理表明：相互独立具有相同期望和方差的随机变 量X,X2,,X的算术平均值依概率收敛于其数学期 望值山
定理1 （切比雪夫定理的特殊情况）设随机变量序 列 X1 ,X2 ,…,Xn , ...相互独立，且具有相同的数学期望 和方差： 1 1 n P i i X X n E(Xk )=，D(Xk )=2 (k=1,2,...) , 则对任意 此定理表明: 相互独立具有相同期望和方差的随机变 量X1 , X2 , …, Xn的算术平均值依概率收敛于其数学期 望值 . 1 1 lim X 1 n i n i P n 即 的 > 0，有 提示：利用切比雪夫不等式证