二、曲线的凹凸与拐点 定义.设函数f(x)在区间1上连续，x1,x2∈1， (1) 若恒有了西)<)中/)， 则称f(x)的 2 图形是凹的； (2) 若恒有/+)>)牛/），则称)的 2 图形是凸的 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
A B 定义 . 设函数 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 图形是凹的; (2) 若恒有 则称 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 . 图形是凸的 . y o x1 x2 x 2 1 2 x +x y o x1 x 2 1 2 x +x 2 x y o x 二、曲线的凹凸与拐点 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2.（凹凸判定法）设函数f(x)在区间1上有二阶导数 (1)在I内f"(x)>0,则(x)在I内图形是凹的；t/ (2)在1内∫"(x)<0,则f(x)在1内图形是凸的.△ 证：Vx1,x2∈I,利用一阶泰勒公式可得 f)=fěf f"(5 2 21 )f- 1十X X1+X2 21 两式相加 f)+f)=2f)+(色)2[”(51)+f"(52] 当/")20时.≥2 说明(1)成立 2)1 证毕 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理2.(凹凸判定法) (1) 在 I 内 则 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 在 I 内图形是凸的 . + − 证: 利用一阶泰勒公式可得 ( ) ( ) 1 f x = f 2 1 2 x + x 2! ( ) 1 f + 2 1 (x − ) 2 1 2 x + x ( ) ( ) 2 f x = f 2 1 2 x + x + f ( ) 2 1 2 x + x ( ) x2 − 2 1 2 x + x 2 ! ( ) 2 f + 2 2 (x − ) 2 1 2 x + x 两式相加 ( ) ( ) 2 ( ) 1 2 f x + f x = f 2 1 2 x + x 2 2! 2 1 ( ) 2 1 x −x + [ ( ) ( )] 1 2 f + f 当f (x) 0时, ( ), 2 ( ) ( ) 1 2 f f x f x + 2 1 2 x + x 说明 (1) 成立; (2) + f ( ) 2 1 2 x + x ( ) 1 x 2 1 2 x + x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数 在区间I 上有二阶导数 证毕