石河子大学：《电动力学》课程教学资源（讲义，共五章）

《电动力学》教案石河子大学理学院物理系部表荣2012年版2016年修订版2.电磁场能量密度和能流密度（1）所用规律为场和电荷相互作用的规律麦氏方程组和洛伦兹力公式。(2）推导过程：V.S+@ =-f-=-(pE+pD×B)-DatVxH_OD-J.E=ataD-V.(ExH)+H.(V×E)-E.9at=V.(E×H)+H.+E.0DatataB+E.ODd0H.（3）比较得：能流密度S=E×H：能量密度的变化率atatat（4）讨论：a）真室：S=E×B，の=8E2+H21Hob）介质：（电磁场能包括介质的极化能和磁化能，不计介质损耗能）80=E.8D+H-8BI(E.D+ H·B)c）线性介质：①3.电磁能量的传输：见例题。【例题】见教材P.32页【课后记】附：真空中电磁场的动量aE+.=-=-E-JxB=-S(V.E)E1V×B-60×Batat(OExB=-(V.E)E-(B)×B+60%)oaEOB=-s(v.E)E--(v.B)B-8VxE+XBB+H6atatooaB aE1=-S(V.E)E-S(V×E)xE-I(V.B)B--(V×B)×B-60 %)×BXE+600tooa(ExB)11=-EE-BB+0E2B80at2Hlolo广- 15

《电动力学》教案 石河子大学理学院物理系 郭志荣 2012 年版 2016 年修订版 - 15 - 2. 电磁场能量密度和能流密度 （1）所用规律为场和电荷相互作用的规律——麦氏方程组和洛伦兹力公式。 （2）推导过程： t D E t B E H H t D E H H E E E t D J E H f E B t S   +    =   +            = − −  +   −             = −  = −  − = −  = − +      +                         ( ) ( ) ( )  (  )   （3）比较得：能流密度 S E H    =  ；能量密度的变化率 t D E t B H t   +    =         。 （4）讨论：a）真空： S E B    =  0 1  ，         = + 2 2 2 0 1 2 1 E H    b）介质：（电磁场能包括介质的极化能和磁化能，不计介质损耗能） E D H B      =  +  c）线性介质： (E D H B)     =  +  2 1  3. 电磁能量的传输：见例题。 【例题】见教材 P.32 页 【课后记】 附：真空中电磁场的动量 ( ) ( ) ( ) t E B EE BB j E B B t E E t B E E E E B B B B B t E E B B t B E E B B E B t E E E B B B t E f E J B E E B t g     +              =   − − + +     +   = −   −   −   −   −     −   +           = −   −   −  +    = −   −   +           +   = − = − −  = −   −  −   1 ( ) 2 1 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 0 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0                                                                      

《电动力学》教索石河子大学理学院物理系郭志荣2012年版2016年修订版【授课时间】第19-20课时【章节名称】第二章静电场S1静电场的标势及其微分方程【教学目标】【掌握】用标势描述静电场和边值关系，静电场的能量；[理解】能用标势描述静电场的原因，静电场能量与能量密度；[知道】静电场标势的不唯一性。[培养】数学求解的简化意识（引入势函数的目的）【教学内容】静电场的标势，静电势的微分方程和边值关系，静电场的能量。【教学重点】引入标势的理由，静电势的微分方程和边值关系，静电势表示能量的意义。【教学难点】静电势的边值关系推到。【教学方法】课前预习，讲授，课后自学、巩固【教学过程】引言：电场有时是由静止的电荷激发的，这时便是电磁场基本理论的最简单情况，但却是实际中有很重要的一类需要解决的问题一一静电平衡问题：在给定的资源电荷分布以及周围空间介质和导体分布的情况下，怎样求解静电场。【板书设计】1.静电场的标势。（1）静电场时麦氏方程组：V×E=0V.D=p（2）标势引入。a）静电场的性质引入：在某一面积上对√×E=0两边积分J,(VxE)-dS=fE.dl =0L分为两路径C,和-C,，则有[E·di=[E·di,定义：单位正电荷从P移到P点电场力作的功为电势差。有0(P)-(P)=-["E·dl 或o(P)=,E·di (0()=0)若电场对电荷作正功，电势减小。微分关系为：dp=-E·dlQdx+++%+=V0d,则 E=-Vp而dp=axdyayb）数学结论直接引入：V×E=0=→E=-Vp。- 16 -

《电动力学》教案 石河子大学理学院物理系 郭志荣 2012 年版 2016 年修订版 - 16 - 【授课时间】 第 19-20 课时 【章节名称】 第二章 静电场 §1 静电场的标势及其微分方程 【教学目标】 [掌握] 用标势描述静电场和边值关系，静电场的能量； [理解] 能用标势描述静电场的原因，静电场能量与能量密度； [知道] 静电场标势的不唯一性。 [培养] 数学求解的简化意识（引入势函数的目的） 【教学内容】 静电场的标势，静电势的微分方程和边值关系，静电场的能量。 【教学重点】 引入标势的理由，静电势的微分方程和边值关系，静电势表示能量的意义。 【教学难点】 静电势的边值关系推到。 【教学方法】 课前预习，讲授，课后自学、巩固 【教学过程】 引言：电场有时是由静止的电荷激发的，这时便是电磁场基本理论的最简单情况，但却 是实际中有很重要的一类需要解决的问题——静电平衡问题：在给定的资源电荷分布以及周 围空间介质和导体分布的情况下，怎样求解静电场。 【板书设计】 1.静电场的标势。 （1）静电场时麦氏方程组：  E =  D =    0, （2）标势引入。a）静电场的性质引入：在某一面积上对  E = 0  两边积分 ( ) =  = 0 S L E dS E dl     。 L 分为两路径 C1 和 −C2 ，则有    =  C1 C2 E dl E dl     ， 定义：单位正电荷从 P1 移到 P2 点电场力作的功为电势差。有  − = −  2 1 ( ) ( ) 2 1 P P P P E dl     或   =  1 ( ) P P E dl    （ () = 0 ） 若电场对电荷作正功，电势减小。 微分关系为： d E dl    = −  而 dy dl y dy y dx x d  =     +   +   =      ，则 E = −  b）数学结论直接引入： E =  E = −   0

《电动力学》教案石河子大学理学院物理系2012年版2016年修订版郭志荣（3）给定电荷分布时的静电势Q0(2）点电荷系：0(P)=Z元(1）点电荷：(P)4元%4元8(3) 连续带点体： 0(1)=,P(I),其中r=F-对。4元r（4）说明：实际中场与电荷相互作用，P(x)没法知道，尤其是有导体存在时感应电荷更难知道。故需给出静电势满足的微分关系。定解时，还需给出边值关系。2.静电势的微分方程和边值关系E=-Vo(1）微分方程：各向同性线性介质。.D=p=V"=P8D=E(2）边值关系：a）介质1与2界面，把电荷由1移向2，所作的功趋于零。故=(2；00 - 0 = V0-T,=V0, T,=2, (E, -E)=0atat0p2agb) e,(D, -D)=0=82aononap（3）静电平衡时导体表面的边界条件为：β=常量，0。on3.静电场能量（1）线性介质中静电场的总能量：W-}{E.DdV --Vo.Ddv -[V.(pD)-pV.D]dv2J2.a）推导：HoD.ds +ppdypady2J21b）说明：1）积分只需在有电荷分布的区域而不必在整个空间中。12)P9 不是静电场的能量密度[avI P()p(1)avV, 电荷间的相互作用能和自能。（2）电荷连续分布：W=8元起L（3）静电场能量能用电荷分布表示的原因：只由电荷分布决定，没有场内独立的运动。【例题】见教材P.41页【作业】推导静电场电势的引入过程。【课后记】<解释势函数的引入从三个方面：静电场无旋量方程的求解转化为标量方程的求解：二届微分方程求解简单）- 17 -

《电动力学》教案 石河子大学理学院物理系 郭志荣 2012 年版 2016 年修订版 - 17 - （3）给定电荷分布时的静电势 （1）点电荷： r Q P 4 0 ( )   = ； （2）点电荷系： =  i i i r Q P 4 0 ( )   （3）连续带点体：  = V r x dV x 4 0 ( ') ' ( )      ，其中 r x x'   = − 。 （4）说明：实际中场与电荷相互作用， (x')   没法知道，尤其是有导体存在时感应电 荷更难知道。故需给出静电势满足的微分关系。定解时，还需给出边值关系。 2.静电势的微分方程和边值关系 （1）微分方程：各向同性线性介质。         =      =  = = − 2 D E D E     （2）边值关系：a）介质 1 与 2 界面，把电荷由 1 移向 2，所作的功趋于零。故 1 =2 ； 1 0 2 0 ( 2 1 ) 0 1 2    =     − =   =   en E E              b）       −   −    − =  n n en D D 1 1 2 2 1 2 ( )    （3）静电平衡时导体表面的边界条件为：  = 常量，    = −   n 。 3.静电场能量 （1）线性介质中静电场的总能量： a）推导：             = −  + = =  = −  = −  −  D dS dV dV W E DdV DdV D D dV       2 1 2 1 2 1 [ ( ) ] 2 1 2 1 2 1       b）说明：1）积分只需在有电荷分布的区域而不必在整个空间中。 2）  2 1 不是静电场的能量密度 （2）电荷连续分布：   = dV r x x W dV ( ) ( ') 8 1       ，电荷间的相互作用能和自能。 （3）静电场能量能用电荷分布表示的原因：只由电荷分布决定，没有场内独立的运动。 【例题】见教材 P.41 页 【作业】 推导静电场电势的引入过程。 【课后记】 <解释势函数的引入从三个方面：静电场无旋；矢量方程的求解转化为标量方程 的求解；二届微分方程求解简单>

《电动力学》教案石河子大学理学院物理系2012年版2016年修订版郭志荣【授课时间】第21-24课时【章节名称】第二章静电场S2唯一性定理【教学目标】【掌握】静电场的唯一性定理，有导体存在时的唯一性定理；[理解］唯一性定理对解决实际问题的重要意义；[知道】静电场唯一性定理的证明思路、方法。[培养]寻求一般性定理对问题研究的重要性意识【教学内容】静电场问题的唯一性定理，有导体存在时的唯一性定理。【教学重点】静电问题唯一性定理的表述，证明，意义。【教学难点】静电问题唯一性定理的证明，意义。【教学方法】课前预习，讲授，复习。【教学过程】引言：静电学的基本问题是求出在所有边界上涉足边值关系或给定边界条件的泊松方程的解，接下来就是需要给出哪些条件，静电场的解才能唯一的被确定。静电场：唯一性定理有十分重要的实际意义。（1）完全确定静电场的因素，使解决实际问题有所依据。（2）实际问题往往很难求解，需要对给定条件进行分析，提出尝试解，如果涉足唯一性定理所要求的全部条件它就是该问题的唯一正确的解。【板书设计】1.静电问题的唯一性定理。(1）林模型：a）区域V可以分为若干个均匀子区域V，其中电容率为6,，b）已知P()，V,内满足V=-6fc）两相邻区域V和，的分界面上无自由电荷，即,=，且ap001=5（边值关系）。0-60（2）唯一性定理的表达：设区域V内给定自由电荷分布P(x)，在V的边界S上给定apa）电势l（狄利克莱）或b）（诺埃曼边界条件），则V内电场唯一确定。an l（3）讨论：a）单一均匀介质或可以均匀分区的介质（需边值关系）都行。- 18

《电动力学》教案 石河子大学理学院物理系 郭志荣 2012 年版 2016 年修订版 - 18 - 【授课时间】 第 21-24 课时 【章节名称】 第二章 静电场 §2 唯一性定理 【教学目标】 [掌握] 静电场的唯一性定理，有导体存在时的唯一性定理； [理解] 唯一性定理对解决实际问题的重要意义； [知道] 静电场唯一性定理的证明思路、方法。 [培养] 寻求一般性定理对问题研究的重要性意识 【教学内容】 静电场问题的唯一性定理，有导体存在时的唯一性定理。 【教学重点】 静电问题唯一性定理的表述，证明，意义。 【教学难点】 静电问题唯一性定理的证明，意义。 【教学方法】 课前预习，讲授，复习。 【教学过程】 引言：静电学的基本问题是求出在所有边界上涉足边值关系或给定边界条件的泊松方程 的解，接下来就是需要给出哪些条件，静电场的解才能唯一的被确定。 静电场：唯一性定理有十分重要的实际意义。（1）完全确定静电场的因素，使解决实际 问题有所依据。（2）实际问题往往很难求解，需要对给定条件进行分析，提出尝试解，如果 涉足唯一性定理所要求的全部条件它就是该问题的唯一正确的解。 【板书设计】 1. 静电问题的唯一性定理。 （1） 模型：a）区域 V 可以分为若干个均匀子区域 Vi ，其中电容率为 i  , b）已知  ( ) x ，Vi 内  满足 2 i     = − , c） 两相 邻 区域 Vi 和 Vj 的 分界 面 上无 自由 电荷 ， 即   i j = 且 i i n     = j j n     （边值关系）。 （2）唯一性定理的表达：设区域 V 内给定自由电荷分布  ( ) x ，在 V 的边界 S 上给定 a）电势 s  （狄利克莱）或 b） n s   （诺埃曼边界条件），则 V 内电场唯一确定。 （3）讨论：a）单一均匀介质或可以均匀分区的介质（需边值关系）都行

《电动力学》教案石河子大学理学院物理系郭志荣2012年版2016年修订版b）均匀介质：宏观电性质不随空间变化，不一定是线性介质。c）边界条件要求为闭合边界，混合条件也可。d）边界条件只需一条，是“或”的关系：边值关系需两条，“且”的关系。（4）证明：a）反证法，没有两解β和@。oQ;ap,=,6,8b）讨论=-：则=0，9p=0onn3dpl:0Onc）Vi的界面S.上：fe,ppds=(6,gp)dv=Je(Vp)dv+fe,ppdy=e,(Vp)dv。d)对所有分区V,求和：,e,pVp-ds=Ze,(Vp)dv。e)求和时，界面上和V相等，但,=-d,，上式左边只剩下VEs,ppds =fcods =0的边界面S上的积分。即dp=0f) l,=0或On，故上式右边为零。Zf,e(Vp)’dv=0V0=0g）由e）和d）得h）=常量，即-"=常量。只有一个场，证毕。S,e,pVpds?（5）说明：为什么要求积分：dp甲 ds 0l-0Vods=Onan2．有导体存在时的唯一性定理。所需条件：a）给定每个导体上的电势i一(1)一第一类型问题。b）给定每个导体上的总电荷9第二类型问题。- 19 -

《电动力学》教案 石河子大学理学院物理系 郭志荣 2012 年版 2016 年修订版 - 19 - b）均匀介质：宏观电性质不随空间变化，不一定是线性介质。 c）边界条件要求为闭合边界，混合条件也可。 d）边界条件只需一条，是“或”的关系；边值关系需两条，“且”的关系。 （4）证明：a）反证法，没有两解 '  和 ''  。 b）讨论 ' ''    = − : 则 2  =  0 ， , j i i j i j n n         = =   ， 0 s  = 或 0 n s  =  。 c） Vi 的界面 i S 上： i i S    ds  = ( ) i i V      dv  = 2 2 ( ) i i i i V V       +  dv dv   = 2 ( ) i i V   dv  。 d）对所有分区 Vi 求和： 2 ( ) i i i i S V i i         =  ds dv   。 e）求和时，界面上  和   相等，但 i j ds ds = − ，上式左边只剩下 V 的边界面 S 上的积分。即 0 i i S S i        =  = ds ds   。 f） 0 s  = 或 0 n s  =  ，故上式右边为零。 g）由 e）和 d）得 2 ( ) 0 i i V i    = dv    =  0 。 h）  =常量，即 ' ''  − = 常量。只有一个场，证毕。 （5）说明：为什么要求积分 ? i i S    ds  ds ds n     =  , 0 s n s    = =  . 2. 有导体存在时的唯一性定理。 （1） 所需条件：a）给定每个导体上的电势 i ——第一类型问题。 b）给定每个导体上的总电荷 Qi ——第二类型问题