7、偏导数概念 定义设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻 域内有定义,当y固定在y而x在x0处有增量 Δx时,相应地函数有增量 f(x0+△x,y)-f(x0,y0), 工工工 如果lim f(x+△x,o)-f(xn,yo存在,则称 △→>0 △y 此极限为函数x=f(x,)在点(x0,y)处对x的 偏导数,记为 上页
定 义 设函数z = f ( x, y)在点( , ) 0 0 x y 的某一邻 域内有定义，当y 固定在 0 y 而x 在 x0处有增量 x时，相应地函数有增量 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x + x y − f x y ， 如果 x f x x y f x y x + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 存在，则称 此极限为函数z = f ( x, y)在点( , ) 0 0 x y 处对x 的 偏导数，记为 7、偏导数概念
z of oxy=yo ,zxx=x或f(x,y) xo ax x=xo y=yO Vy=o 同理可定义函数z=f(x,y)在点(x0,y)处劝 的偏导数,为 lim/(*o, o+ Ay)-f(xo,Jo △→>0 △ z ar 记为 ayla=xo ayx= ,zyx=x或f(x y=yo y=yo y=Vo 上页
同理可定义函数z = f ( x, y)在点( , ) 0 0 x y 处对y 的偏导数， 为 y f x y y f x y y + − → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 记为 0 0 y y y x x z = = ， 0 0 y y y x x f = = ， 0 0 y y x x y z = = 或 ( , ) 0 0 f x y y . 0 0 y y x x x z = = ， 0 0 y y x x x f = = ， 0 0 y y x x x z = = 或 ( , ) 0 0 f x y x
如果函数z=∫(x,y)在区域D内任一点 (x,y)处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数 就是x、y的函数,它就称为函数乙=f(x,y)对 自变量x的偏导数, 记作 ,z或f(x,y) ax ax 同理可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导 数,记作 Q’,或/(x,) 上页
如果函数z = f ( x, y)在区域D 内任一点 (x, y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是x、y的函数，它就称为函数z = f ( x, y)对 自变量x的偏导数， 记作 x z ， x f ， x z 或 f (x, y) x . 同理可以定义函数z = f ( x, y)对自变量y 的偏导 数，记作 y z ， y f ， y z 或 f (x, y) y
8、高阶偏导数 函数z=f(x,y)的二阶偏导数为 0(a\01=m(少0az)/n(1, axax) ax Oy(Oy Oy 纯偏导 a az a2z ayl ax axa f(x, y), 0(O k)=2=(x, OxlayOyax 混合偏导 庄义三阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏 上页
８、高阶偏导数 ( , ), 2 2 f x y x z x z x = xx = ( , ), 2 2 f x y y z y z y = yy = ( , ), 2 f x y x y z x z y = xy = ( , ). 2 f x y y x z y z x = yx = 函数z = f (x, y)的二阶偏导数为 纯偏导 混合偏导 定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏 导数
9、全微分概念 如果函数z=∫(x,y)在点(x,y)的全增量 王△x=fx+△,y+△y)-f(x,)可以表示为 △z=A△x+B△y+0(p),其中A,B不依赖于 △x,4而仅与x,y有关,p=(△x)2+(4y)2 王则称函数2=/(x,在点x)可微分 9 A△x+BAy称为函数z=f(x,y)在点(x,y)的 全微分,记为,即 t=A△x+B△ y 上页
如果函数z = f ( x, y)在点(x, y) 的全增量 z = f ( x + x, y + y) − f ( x, y)可以表示为 z = Ax + By + o( )，其中 A,B 不依赖于 x,y而仅与x, y 有关， 2 2 = (x) + (y) ， 则称函数z = f ( x, y)在点( x, y) 可微分， Ax + By称为函数z = f ( x, y )在点( x, y) 的 全微分，记为dz，即 dz=Ax + By. ９、全微分概念